Ықтималдықтар үлестіруінің тығыздығы Үздіксіз кездейсоқ шаманы ықтималдық тығыздығы (дифференциалдық функция) деп аталатын функциямен де беруге болады. интервалын алып, кездейсоқ шама Х-тің осы аралықта болу ықтималдығын анықтайық. Алдыңғы пункттегі 3-қасиет бойынша
бұл шама ықтималдықтың орташа тығыздығы делінеді. Егер
(2)
Бұл функция ықтималдық тығыздығы немесе ықтималдықтар үлестіруінің тығыздығы деп аталады.
Бұдан ықтималдық тығыздығы үлестіру функциясының туындысы екенін байқаймыз. Ал үлестіру функциясы болса, ықтималдық тығыздығы үшін бастапқы функция болып отыр. Сондықтан ықтималдық тығыздығы деу орнына ықтималдықтар үлестіруінің дифференциалдық заңы (функциясы деп те атайды). Үлестіру функциясын ықтималдық тығыздығы арқылы да анықтауға болады. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша
Үлестіру функциясының 3-қасиеті бойынша
десек, онда
(3)
Бұдан дифференциалдық функция пен интегралдық функция бірін-бірі анықтайтынын байқаймыз.
Үлестіру тығыздығы үлестіру функциясы сияқты үлестіру заңының бір түрі болып есептеледі. Бірақ үлестіру функциясы дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайтын болғандықтан, олардың универсал заңы болады. Ал үлестіру тығыздығы болса, тек үздіксіз кездейсоқ шамаларды ғана сипаттайды.
Үлестіру тығыздығының қасиеттері:
10. х-тің барлық мәнінде үлестіру тығыздығы теріс емес, яғни .
Бұл (2) теңдігінен тікелей шығады, өйткені кемімейтін функция, ал .
20. Кездейсоқ шаманың мүмкін мәніндегі интервалдың барлық ұзындығы бойынша алынған үлестіру тығыздығының интегралы бірге тең, яғни
(4)
Мысалдар. 1. Бірқалыпты үлестіру
Егер ықтималдық тығыздығы
болса, онда Х кездейсоқ шамасының үлестіруін бірқалыпты делінеді.
2. Үлестірудің нормаль (қалыпты) заңы.
Тығыздығы функциясы болған үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтарының үлестіруін нормаль заң (үлестіру) делінеді. Мұндағы - математикалық күтім, - орташа квадраттық ауытқу деп аталатын параметрлер.
функциясы графигін нормаль қисық немесе Гаусс қисығы деп аталады. функциясының болғандағы дербес түрі функциясы толық зерттелген болатын.
Нормаль заңымен үлестірілген кездейсоқ шаманың интервалында болу ықтималдығы
формуласымен есептеледі.
Егер десек, онда .
Бұл тұжырымды үш алма ережесі деп атайды, оны нормаль заңға бағынатын кездейсоқ шаманың аралығынан шықпауын мейлінше бірге жуық ықтималдықпен айтамыз.
