Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы Муавр-Лапластың теоремасы. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол болса, онда сынау саны жағдайда оқиғаның орындалу санының және аралығында болу ықтималдығы
интегралына ұмытылады, яғни
(5)
болады, мұндағы
,
(5) теңдіктің оң жақ бөлігіндегі интеграл элементар функциялар арқылы есептелмейді. Сондықтан мына Лаплас функциясын енгіземіз:
(6)
Бұл функцияның таблицасы кітап соңында беріледі. (2-қосымша). Мұның қасиетін пайдалану арқылы (5) теңдікті ықшам түрде былай жазамыз:
(7)
немесе
(7/)
Мұны Лапластың интегралдық формуласы дейміз.
Лаплас функциясының мынадай қасиеттері бар.
1. функциясы тақ функция, яғни .
2. функциясы монотонды өспелі, яғни болса, онда болады.
3. х шектеусіз өскенде функциясы 0,5-ке ұмтылады, яғни болады. Сондықтан .
4. қисығы координаталар бас нүктесіне қатысты симметриялы. Мұның екі горизонтал асимптотасы бар, өйткені ; . Ал болғанда .
5. функциясының мәні х-тің аз мәнінде де 0,5-ке жуық, сондықтан мәндерінде есептеудің қажеті жоқ. Таблицада х-тің 5-ке дейінгі мәні келтірілген.
6 дәріс. Бернулли, Лаплас және Пуассон формулары Муавр-Лапластың шектік интегралдық формуласы теория мен практикада ерекше орын алады. Алдымен мынадай қасиеттерін келтірейік:
10. (8)
теңдігінің орындалуын дәлелдейік.
Д/уі: теңсіздігін өзіне пара-пар теңсіздіктермен ауыстыруға болады, бірақ бұдан ықтималдық мәні өзгермейді. Сонда , не болады. Бұдан . Сонда
,
Олай болса, (7) формуладан (8) формуланы аламыз.
20. (9)
теңдігінің орындалуын дәлелдейік.
Д/уі: теңсіздігінен екені шығады. Олай болса, орнына -ді қойып, 10-қасиеттен (9)-формуланы аламыз. Енді мынадай енгізулер жүргізейік:
(10)
(11)
мұндағы р-ны сенімділік ықтималдық (доверительная вероятность или надежность), п-ді сынау (таңдама көлемі), -ді абсолюттік қате (дәлдік) деп атайық.
Сонда (11) формуласы көмегімен төменде келтірілген үш типті есептер шешіледі.
1-есеп. Әрбір сынаудағы ықтималдық р тұрақты болып, берілген қате , сынау саны п бойынша сенімділік ықтималдық р-ны анықтаймыз. Ол үшін (11) теңдігінен х-тің мәнін табамыз, одан соң таблицадан –ті анықтап, екіге көбейтеміз.
2-есеп. Берілген р, сынау саны п, сенімділік ықтималдық р бойынша қате –ды мына формуламен табамыз:
(12)
мұндағы х-ті анықтау үшін р-ны екіге бөліп, таблицадан мәнін табу жеткілікті.
3-есеп. Берілген р, қате , сенімділік ықтималдық Р бойынша сынау саны п-ды мына формуламен табамыз:
(13)
мұнда да х-тің мәні 2-есептегідей анықталады.
