Изучая поведение функции
жүктеу/скачать 274,76 Kb.
|
Тема 6.1.Понятие производной
- Бұл бет үшін навигация:
- Пусть функция y=f(x) определена в точках
- Определение : Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции.
|
Тема 6.1. Понятие производной. Геометрический и кинематический смысл. Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции. Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)−f(x0) называют приращением функции. Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf. Итак, x1−x0=Δx, значит, x1=x0+Δx. f(x1)−f(x0)=Δy, значит, Δy=f(x0+Δx)−f(x0). Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определение: Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции. (Часто вместо f(x+Δx)−f(x) пишется Δy.) Иногда используются обозначения f '(x) или Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Вычисление производной функции у=f(х) проводится по общему правилу дифференцирования. Запишем алгоритм: Придавая аргументу х приращение Δx, найдем у+Δy= f(x+Δx) Найдем приращение функции Δy=f(x+Δx)−f(x). Составим отношение: Найдем предел этого отношения при Δx→0: Этот предел и есть производная от функции у=f(х). Пример 1: Найти производную функции у = 2х2-3х по общему правилу. у+Δy=2(x+Δx)2- 3(x+Δx)=2х2+4х∙Δx+2(Δx)2-3х-3(Δx) Δy=( у+Δy)-у = 2х2+4х∙Δx+2(Δx)2-3х-3(Δx)- (2х2-3х) =4х∙Δx+2(Δx)2-3Δх Следовательно, у'=4х-3 Чтобы найти значение производной в заданной точке, например, в точке х=3, необходимо подставить это значение в производную: у'(3)=4∙3-3=9 жүктеу/скачать 274,76 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|