Функцияның экстремумы, оның бар болуның қажетті және жеткілікті шарттары. Жазықтықтың Q аймағында анықталған үзліссіз функцияны қарастырайық, осы аймақтың белгіленген ішкі нүктесі болсын.
Анықтама Егер нүктесінің маңайында жатқан барлық нүктелер үшін немесе теңсіздігі орындалса, онда функциясының нүктесінде максимумы (минимумы) бар деп айтады.
Көп айнымалды функцияның минимумы мен максимумын осы функцияның экстремумдары деп атайды.
Теорема (функцияның экстремумы болуының қажетті шарты) нүктесінде функциясының экстремумы бар болу үшін, оның бірінші ретті дербес туындылары осы нүктеде нөлге тең, яғни болуы немесе бұл туындылардың болмауы қажетті.
Теорема (функцияның экстремумы болуының жеткілікті шарты).
функциясының бірінші ретті дербес туындылары нүктесінде шарттарын қанағаттандыратын болсын және осы нүктенің маңайында осы функцияның екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болсын.
деп белгілесек, онда:
1) егер және болса, онда максимум нүктесі.
2) егер және болса, онда минимум нүктесі.
3) егер болса, онда нүктесінде функцияның экстремумы жоқ.
Ескерту:Егер болса, онда функциясының нүктесінде экстремумы болуы да болмауы да мүмкін. Сондықтан мұндай жағдайда қосымша зерттеулер жүргізуге тура келеді.
Енді жоғарыда айтылған тұжырымдарға бірнеше мысалдар келтірейік.
