Егер функциясының жағдайда А шегі бар болса, онда функциясын осы А саны мен жағдайда ақырсыз аз болатын функция қосындысы түрінде жазуға болады, яғни .
Ақырсыз аз функцияның шенелген функцияға (сонмен қатар, тұрақтыға, басқа ақырсыз азға) көбейтіндісі ақырсыз аз функция болады.
Ақырсыз аз функцияның шегі нолден өзге функцияға қатынасы ақырсыз аз функция болады.
Анықтама. функциясының жағдайда шегі шексіздік болса, яғни , онда функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция деп аталады.
Ақырсыз аз функция мен ақырсыз үлкен функция арасында мынадай байланыс бар: Егер функциясы жағдайда ақырсыз аз болса, функциясы жағдайда ақырсыз үлкен болады. Мысалы, функциясы жағдайда ақырсыз аз функция болады.
Шынында да, шегін есептейік.
.
Ал функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция болады, яғни оның шегі шексіздік.
Шынында да, шегін есептейік.
.
Мұндағы қатынасты шектер тілінде “ақырсыз азға кері шама ақырсыз үлкен” дейді де, шексіздікке теңестіреді.
Ақырсыз аз функциялар нолге әртүрлі жылдамдықпен жақындайды. Көптеген жағдайда ақырсыз аздардың нолге ұмтылу жылдамдығын анықтау үшін оларды өзара салыстыру керек болады. Салыстыру үшін олардың қатынасының жағдайдағы шегін қарастырады.
Айталық және жағдайда ақырсыз аз функциялар және болсын. Онда, егер
1) болса -ға қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз деп; 2) болса мен бірдей ретті ақырсыз аз деп; 3) болса мен эквивалентті ақырсыз аз деп аталады. мен эквивалентті дегенді ~ деп жазады.
Егер функциясы жағдайда ақырсыз аз болса, онда
1. , ,
, ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. .
1.-5. қатынастар эквивалентті функциялар кестесін береді. Бұл кестені шек есептеу кезінде мына теоремаға сүйеніп қолдануға болады. Теорема. Егер жағдайда ~ және ~болса, онда
.
Мысал. . Мұнда жағдайда болғандықтан орнына алынды.
ФУНКЦИЯ ҮЗІЛІССІЗДІГІ. ҮЗІЛІС ТҮРЛЕРІ
Анықтама. функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни , функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
