мы можем записать систему (23) в виде: (25) Теорема 19. Если все собственные значения матрицы А = ( ) (см. (24)) имеют отрицательные действительные части, то положение равновесия а системы (1) асимптотически устойчиво; болев полно, существует настолько малое положительное число а, что при | — а| а имеет место неравенство (26) где r и а. — положительные числа, не зависящие от Доказательство.Будем считать, что положение равновесия а системы (1) совпадает с началом координат, т. е. что а = 0. Этого всегда можно достичь, произведя параллельный перенос системы координат; при этом матрица А не изменится. Предполагая, что а = 0, мы имеем: , и потому система (25) записывается в виде: (27) где
