Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений
Но в силу (7) и (13) мы имеем , так что
жүктеу/скачать 1,95 Mb.
|
Лекции Word
75296
- Бұл бет үшін навигация:
- доказана.
- (15) + а y 2 = 0 (16)
- Рассмотрим теперь кривую (17)
- О, с, d].
- Д окажем теперь свойство (14) функ ции G
- Для доказательства предложения В) определим функцию положив
- при z =0 (18)
- Лекция 12- 13 (дополнение). 3.Поле касательных к замкнутой кривой. Теорема 24 (Пуанкаре).
- 4 . Определение индекса, данное Пуанкаре.
- . Вращение векторного поля.
- Теорема
| Но в силу (7) и (13) мы имеем , так что
Таким образом, второе из уравнений системы (18) имеет вид: где близко к в окрестности начала координат и, следовательно, положительно. Из этого следует, что в окрестности начала координат вдоль каждой траектории, отличной от усов и , координата сохраняет знак и по модулю увеличивается при увеличении t. Таким образом, ни одна траектория, протекающая вне оси абсцисс плоскости , не может асимптотически приближаться к точке O, и единственность устойчивых усов и доказана. Теперь доказано, что на интервале (a, b) существует лишь одна такая точка р0, что выходящая из нее траектория системы (7) при асимптотически приближается к точке О, образуя ус . Если точка р лежит на интервале (a, р0), то выходящая из нее траектория пересекает дугу Оa, а если точка р лежит на интервале (b, р0), то выходящая из нее траектория пересекает дугу Оb. Исходя из парабол - аy 2 = 0 (15) + аy 2 = 0 (16) и прямой (рис. 62), можно построить треугольник [О, с, d], обладающий свойствами, аналогичными свойствам треугольника [О, а, b]. Существует лишь одна такая точка q0 на интервале (с, d), что выходящая из нее траектория при убывающем t асимптотически приближается к точке O я образует неустойчивый ус . Если точка q лежит на интервале (с, q0), то выходящая из нее при убывающем t траектория пересекает дугу Оb, а если точка q лежит на интервале , d) то выходящая из нее при убывающем t траектория пересекает дугу Od. Рассмотрим теперь кривую (17) (см. (7)). Легко видеть, что она касается оси ординат в точке О. Так как функция имеет вторые непрерывные производные, и потому кривая (17) имеет в точке О определенный, радиус кривизны, то число а можно выбрать настолько большим, а число — настолько малым, что на отрезке кривая (17) проходит между параболами (15) и (16) (рис. 63). Справа от кривой (17) функция отрицательна, и потому векторы фазовой скорости в точках, лежащих справа от кривой (17), направлены налево. Проведем из точки с вертикальный отрезок [се], нижний конец е которого лежит на усе . Пусть р - точка интервала (а, р0). Если точка p достаточно близка к точке р0, то, в силу теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных значений (теорема 14 и предложение Д) §23), точка, вышедшая из p, пройдет достаточно близко к началу координат и потому пересечет отрезок [с, е]. П ри дальнейшем движении она обязательно пересечет дугу Ос. В самом деле, если движущаяся точка пересекает линию (17), то она обязательно пересекает перед этим дугу Ос. Если же движущая точка не пересекает линии (17), то она перемещается все время налево, а расстояние ж от этой точки до линии (11), измеряемое по вертикали, растет; таким образом, и в этом случае траектория пересекает дугу Ос. Таким образом, рассматриваемая траектория входит в треугольник [ О, с, d]. После этого траектория уже должна будет пересечь интервал (с, q0) в некоторой точке д. Если, наоборот, пустить из точки q интервала (с, q0) траекторию в направлении убывания t, то при Л достаточной близости точек q к q0 эта траектория, пройдя вблизи начала координат, пересечет интервал (а, р0) в некоторой точке p' (рис. 64). Сопоставляя эти два обстоятельства, легко прийти к выводу, что при имеем q . Это дает полное качественное представление о поведении P траекторий вблизи седла. Таким образом, теорема 22 доказана. Д окажем теперь свойство (14) функции G . В) Пусть G .— непрерывная функция, определенная вблизи значений x= z = 0 и обладающая непрерывной производной . Если то где Н ( ) — непрерывная функция Для доказательства предложения В) определим функцию положив: при z≠0, при z=0 (18) и покажем, что определенная таким образом функция непрерывна. При z≠0 функция, определенная соотношениями (18), очевидно, непрерывна. Докажем, что она непрерывна в точке , 0). Мы имеем: где 0 . Так как функция непрерывна, то при , имеем . Таким образом, предложение доказано. Лекция 11. Поведение траекторий вблизи фокуса Теорема 24. Допустим, что начало координат О системы (1) представляет собой фокус, т. е. собственные значения матрицы являются комплексно сопряженными числами причем Оказывается, что если , то при все траектории, проходящие вблизи точки О, наматываются на начало координат О как спирали; если же , то при все траектории, проходящие вблизи точки О, наматываются на начало координат О, как спирали. Доказательство. Для доказательства воспользуемся каноническим видом (6), переименовав в нем переменные и в переменные х и у. Таким образом, нам следует изучить систему уравнений (26) Введем полярные координаты, т. е. положим: (27) Дифференцируя соотношения (27) и подставляя полученные выражения в систему (26), получаем: Решая полученную систему уравнений относительно и , получаем (28) где и — функций, ограниченные при малых ρ и периодические по φ с периодом 2π. Будем для определенности считать, что . Рассмотрим траекторию системы (28), начинающуюся в точке , где , a ε—достаточно малое число. Из уравнений (28) следует, что траектория эта асимптотически приближается к оси ρ= 0, причем φ стремится либо , либо — в зависимости от того, положительно число ν или отрицательно. Из этого следует, что соответствующая траектория в плоскости (х, у) навертывается, как спираль, на начало координат. Таким образом, теорема 24 доказана. Нижеследующее предложение Г), являющееся существенным обобщением доказанного выше предложения В), используется только при доказательстве теоремы 23. Г) Пусть — функция, определенная в области W, заданной неравенствами удовлетворяющая условию (29) и обладающая тем свойством, что функция существует и имеет непрерывные частные производные до порядка r включительно. Тогда функция в области W может быть записана в виде: (30) где функция определяется равенствами (31) и имеет в области W непрерывные частные производные до порядка г включительно. (При r=0 доказываемое предложение Г) превращается в предложение В).) Для доказательства предложения Г) рассмотрим функцию (32) Эта функция обладает в области W непрерывными частными производными по ρ до порядка s+1 включительно и удовлетворяет условию (33) (см. (29)). Докажем, что при имеет место равенство (34) где числа при каждом фиксированном не зависят от функции и удовлетворяют условию (35) а числа удовлетворяют неравенствам (36) Вычисляя производную по формуле Лейбница, получаем: (37) где числа , при каждом фиксированном k не зависят от функции . Разлагая каждую из функций в ряд Тейлора по ρ, получаем: (38) Далее, подставляя выражения (38) и (37), мы получаем в силу (33) (39) где и — константы, не зависящие (при каждом фиксированном k) от выбора функции . Для доказательства соотношения (34) достаточно теперь установить, что константы равны нулю, а константы удовлетворяют условию (35). Так как перечисленные константы не зависят от выбора функции , то указанные их свойства Достаточно установить для функций какого-либо специального вида. Рассмотрим случай, когда является многочленом: . (40) В силу (32) находим: (41) С другой стороны, равенство (39) для многочлена (40) имеет вид: (42) Правые части равенств (41) и (42) должны совпадать при |р|<ε, , а так как числа произвольны, то из этого вытекает равенство нулю чисел и соотношение (35). Таким образом, формула (34) доказана. Введем в рассмотрение функцию , положив: (43) Из равенств (34) и (35) следует, что есть непрерывная функция пары переменных ρ, φ во всей области W. Очевидно, что при выполнены равенства (44) Докажем, что эти равенства справедливы и при ρ = 0. Пусть , ; тогда мы имеем: (45) Так как функции, стоящие в левой и правой частях этого равенства, непрерывны, то равенство это справедливо и при ρ= 0, так что мы имеем: (46) Вычитая соотношение (46) из (45) и деля результат на ρ, находим: (ρ>0). Переходя к пределу при , мы видим, что правая производная функции по ρ в точке ρ = 0 существует и равна . Точно так же доказывается, что и левая производная равна . Таким образом, равенство (44) справедливо во всей области W. Из соотношений (43), (32) при k = 0, s = r следуют равенства (30), (31), а из соотношений (44) и (32) следует, что функция обладает непрерывной производной а это в значит, что функция обладает всеми непрерывными частными производными до порядка r включительно. Итак, предложение Г) доказано. Лекция 12- 13 (дополнение). 3.Поле касательных к замкнутой кривой. Теорема 24 (Пуанкаре). Индекс гладкой простой замкнутой кривой по отношению к полю своих касательных равен +1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - рассматриваемая простая замкнутая кривая. Ввиду ее гладкости является спрямляемой кривой. Будем считать для определенности, что длина кривой равна 1 и направление касательного вектора в каждой точке кривой соответствует положительному направлению обхода на (длины векторов роли не играют, лишь бы они отличались от нуля: можно, например, считать, что представляет поле единичных касательных векторов). Пусть - точка кривой с наименьшей ординатой, по крайней мере одна такая точка существует. Тогда касательная к в точке горизонтальна, и вся кривая лежит выше этой касательной (рис.116). Мы будем отсчитывать длину дуги на от точки в положительном направлении. Тогда каждую точку кривой , отличную от , можно охарактеризовать определенным значением - координатой этой точки на кривой . Точке соответствуют два значения: и . Рассмотрим треугольник плоскости , ограниченный прямыми (рис.117). Каждой точке этого треугольника с координатами (очевидно, ) поставим в соответствие единичный вектор , имеющий направление вектора , где - точки кривой с координатами и . При этом, естественно, точке отрезка ставится в соответствие единичный касательный вектор , т.е. . Мы получаем непрерывное векторное поле , определенное внутри и на границе треугольника и не имеющее особых точек. Поэтому в силу леммы 4 индекс замкнутой кривой по отношению к полю равен нулю . Но индекс ломаной равен сумме вращения поля вдоль отрезков . Поэтому . Легко видеть, что , так как при надлежащей параметризации соответствующие угловые функции (поля на отрезке и поля на кривой ) будут одинаковы. Рассмотрим теперь поле на отрезке . Векторы этого поля не могут быть направлены вниз, так как они имеют направления векторов, идущих из точки в точки кривой (любая точка лежит по условию не ниже точки ). Далее, направление вектора совпадает с отрицательным направлением оси , а направление вектора - положительным направлением оси . Пусть - угловая функция поля , заданного на , такая, что . Тогда , где - целое. Если , то в силу непрерывности существуют точки отрезка , в которых соответствующие векторы направлены вниз, чего не может быть. Поэтому , , и . Аналогично устанавливается, что . Таким образом, ; . Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Пусть - поле, заданное на кривой , причем такое, что ни в одной точке вектор поля не имеет направления касательной к в точке (т.е. либо все векторы поля направлены внутрь кривой , либо все они направлены наружу). Тогда . Доказательство непосредственно получается из леммы 2, если в этой лемме под понимать поле касательных к кривой . 4 . Определение индекса, данное Пуанкаре. Приведем здесь в несколько измененной форме определение индекса, данное Пуанкаре (см.[5], гл.III и XIV). Этим определением в ряде случаев удобно пользоваться для вычисления индекса замкнутой кривой. Пусть - рассматриваемая простая замкнутая кривая, - заданное на ней поле, а - какая-нибудь прямая плоскости . Предположим, что существует только конечное число точек кривой , в которых вектор направлен параллельно прямой . Предположим, что кривая обходится точкой в положительном направлении, и пусть есть число точек , при прохождении через которые вектор проходит через направление прямой , двигаясь против часовой стрелки. Пусть, далее, - число точек , в которых вектор проходит направление прямой , двигаясь по часовой стрелке. Точки , в которых вектор достигает, двигаясь, скажем, по часовой стрелке, направления , а потом начинает двигаться в обратном направлении (или наоборот), мы не будем принимать во внимание. Тогда . (4) На рис.118 изображены три точки каждого из указанных типов. Справедливость соотношения (4) следует из того, что переход через направление прямой регистрирует увеличение или уменьшение значения угловой функции на . Поэтому общее приращение угловой функции при обходе кривой равно и, следовательно, индекс кривой равен . Точное доказательство может быть получено путем рассмотрения пересечения графика угловой функции с графиком прямых , где - целое. Мы предлагаем читателю провести это доказательство. Лекция 12. 1. Вращение векторного поля. Введем основные понятие теории индекса. Понятия, о которых пойдет речь, имеют смысл и значение для векторных полей более общего типа, чем векторные поля, определяемые рассматриваемыми нами динамическими системами (т. е. чем «непрерывно дифференцируемые векторные ноля»). Именно, эти понятия имеют смысл для любых непрерывных полей. Так как при выводе некоторых основных фактов, касающихся динамических систем (индекса замкнутой траектории), в дальнейшем используется рассмотрение непрерывного не дифференцируемого поля, то все основные понятия мы введем в предположении, что рассматриваемое поле непрерывно и может не быть дифференцируемым. Говорят, что на множестве К плоскости (х, у) (в частности, в некоторой области плоскости) задано некоторое векторное поле, если в каждой точке М (х, у) множества К. задан вектор v (М), причем компоненты этого вектора X (х, у) и У (х, у) являются непрерывными функциями точки. Далее, говорят, что векторное поле не имеет особенностей, если оно не содержит нулевых векторов, т. е. таких, для которых компоненты X и У одновременно равны нулю. В каждой не особой точке определена длина вектора и ого направление. Угол ω между положительным направлением оси х и направлением вектора определяется соотношениями (см. дополнение, § 5) , Очевидно, при сделанных предположениях длина вектора и угол ω определяются однозначно и являются непрерывными функциями точки *). Для введения основных понятии теории индекса достаточно рассматривать векторное поле, определенное только на заданной кривой (а не в некоторой области плоскости). Под полем, заданным на кривой, мы будем в дальнейшем всегда подразумевать непрерывное векторное поле без особенностей и не будем оговаривать это каждый раз особо. Рассмотрим сначала случаи, когда поло v задало на простои дуге l. Определим для такого поля угловую функцию. Пусть на плоскости (х, у) имеется система координат. Полярным углом ненулевого вектора v мы будем называть угол между положительным направлением оси Ох и вектором v, отсчитываемый против часовой стрелки. Полярный угол определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2Π. Мы будем называть угловой функцией векторного поля v, заданного на дуге l относительно данной системы координат, всякую функцию α = F (М), обладающую следующими двумя свойствами: 1) F (М) есть однозначная функции, определенная и непрерывная для всех точек М l; 2) для любой точки М l F(M) представляет из себя полярный угол вектора v (М) (конечно, уже вполне определенный). Докажем прежде всего, что угловые функции существуют. Напомним, что углом между векторами и , на плоскости ( и — два ненулевых вектора) называется наименьший по величине угол, на который надо повернуть вектор до совпадения его по направлению с вектором и, (см. по этому поводу дополнение, § 5). Будем обозначать угол между векторами и через Θ( , ). Мы имеем (см. дополнение, § 5) -П< Θ( , )≤ П. Легко показать, если принять во внимание замкнутость множества точек кривой l и непрерывность, а следовательно, и равномерную непрерывность вектор-функции v (M), что для любого > 0 существует разбиение кривой С точками , , . . ., , ( , — концевые точки кривой, а увеличение номера п соответствует движению по С в каком-нибудь определенном ее направлении рис. 109), удовлетворяющее следующему требованию: для любых двух точек M', M", принадлежащих одному в тому же отрезку кривой l, < Построение угловой функции α= F (М) векторного поля, заданного на дуге l, можно произвести следующим образом: выберем в качестве число меньшее и возьмем какое-нибудь соответствующее этому разбиение М0, , . . ., Мп кривой l. Положим, что F (М0)= , где — какое-нибудь (произвольное, но фиксированное) значение полярного угла вектора v (М0). Далее, для каждой точки М части М0 дуги l положим, что F(М)= + . Предполагая, что F (М) уже построена для всех точек отрезков М0 , , . . ., мы положим, далее, что если М принадлежит отрезку , то F(M)=F( )+ (k=2,3,…,n) Таким образом, мы получим функцию F (M), определенную для всех точек М l. Легко видеть, что эта функция обладает свойствами 1) и 2), т. о. является угловой функцией поля . Выясним, чем отличаются различные угловые функции заданного поля. Лемма 1. Если F (М) и (М) — две угловые функции векторного поля v, заданного па дуге l (относительна одной и той же системы координат на плоскости), то при всех М l (М)=F(M)+2 , где r — постоянное целое число. Если же F (М) и Ф (М) — угловые функции поля v на дуге l относительно двух различных прямоугольных систем координат на плоскости, то Ф (М)= F (М)+const. Доказательство. Если F (M) и (М) — две угловые функции, соответствующие одной и той же системе координат на плоскости (x, у), то в силу условия 2) для любой точки М l (М) - F (M) - 2 (М) где r - цело. Но тогда в силу непрерывности, r (М) есть постоянное число. Предположим теперь, что F (М) — угловая функция поля v относительно системы координат хОу, а Ф (M) — относительно системы координат х'О'у'. Пусть — угол между осью Ох и О'х'. Тогда очевидно что Ф (М)+ есть угловая функция поля v по отношению к системе хОу, и в силу выше докапанного Ф (М) + = F (М)+ 2 . Следовательно, Ф (М)= F (М)+ (2 - )= F (М)+const. Лемма доказана. Определим теперь вращение векторного поля вдоль простой дуги. Определение X. Пусть l— простая дуга, v (M)– векторное поле, заданное па ней, — какая-нибудь часть дуги l, на которой выбрано направление от начальной точки к конечной ,и пусть F (М) — какая-нибудь угловая функция поля , заданного на дуге l. Мы будем называть вращением поля v вдоль части дуги l и обозначать черев W (v, ) число W (v, ) = В частности, когда — начальная и соответственно коночная точка рассматриваемой дуги l, то ми будем говорить о вращении векторе, вдоль простой дуги l и будем обозначать его через w (v, l). Из леммы l и определения X следует, что вращение векторного поля вдоль простои дуги / не зависит ни от выбора системы координат на плоскости (х, у), ни от выбора угловой функции F (М) поля V относительно данной системы координат. Лекция 13. 11. Приложение теории индекса к динамическим системам Две основные теоремы. Задание динамической системы можно интерпретировать как задание векторного поля (см. § 1). Пусть система (I) определена в области G плоскости (х, у). Каждой точке М (х, у) G ставится в соответствие вектор или с компонентами и мы получаем указанное векторное поле или . Точки области G, в которых Р(х,у)=Q(х,у)=0, т.е. состояния равновесия системы (I), очевидно, являются особыми точками векторного поля, соответствующего системе (I). Пусть С — какая-нибудь простая замкнутая кривая, лежащая в области G. В каждой точке этой кривой поле, соответствующее динамической системе (1), задает определенный вектор, т.е. «индуцирует» на этой кривой определенное векторное поле. В дальнейшем, говоря об индексе замкнутой кривой С, мы всегда будем подразумевать индекс этой кривой по отношению к полю, индуцированному полем , соответствующему рассматриваемом динамической системе. Для такого ноля, соответствующего динамической системе, сформулируем лемму 4 в виде следующей теоремы: Теорема 25. Пусть С — простая замкнутая кривая, лежащая в области G, и Г — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком принадлежит области G и в Г нет ни одной особой точки динамической системы (1), то индекс кривой С равен нулю: I(С)=0. Теорема 25 легко обобщается следующим образом: Теорема 26. Если Г — жүктеу/скачать 1,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|