Прямые a и b не параллельны. Через точку А1проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому
Отсюда по свойству пропорций получаем:
С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2= В1В2, С2С3= В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2на В1В2 и С2С3на В2В3, приходим к равенству
что и требовалось доказать.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
На сторонах АС и ВСтреугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О(рис. 124б). Доказать:
Доказательство: Через точку М проведем прямую MD(рис. 124а), параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса
Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: