Теорема 1. Решение задачи BS в классе функций
, единственно.
Имеет место следующий принцип максимума.
Теорема 2. Пусть и для регулярного решения задачи BS выполняется неравенство , . (11). Тогда , .
Доказательство: Через обозначим подобласть , ограниченную характеристиками и отрезком оси , через - подобласть , ограниченную характеристиками и отрезком оси , а через - характеристический четырехугольник, ограниченный характеристиками
Общее решение уравнения , (12)
удовлетворяющее условиям
, (13)
в области согласно формуле (5) представимо в виде
(14)
где (15)
(16)
Общее решение уравнения (12) в области , удовлетворяющее условию
, (17), согласно соотношению (6) задается формулой
, (18)
где (19)
Здесь произвольная гладкая функция,
Определим следующую производную по направлению
(20)
Непосредственным вычислением из равенств (14) и (18) находим, что
, (21)
. (22)
По условию теоремы 2- Поэтому из (21) и (22) следует, что
. Из этих неравенств заключаем, что решение задачи BS при возрастает по направлению вектора в области и по направлению в области , начиная с отрезка .
Отметим, что при направление не выходит из области , т.е. является внутренним направлением. Следовательно, при выполнении условий теоремы 2 регулярное решение задачи BS может достичь своего минимума на отрезке AB оси
Пусть решение достигает своего минимума в точке Тогда, если в этой точке должно выполняться условие если если
Отсюда следует, что регулярное решение задачи BS своего минимума не может достичь в точках , т.к. это противоречило бы принципу Заремба-Жиро. Следовательно, решение достигает своего минимума на . Поскольку , то в области Регулярное решение задачи BS в области представимо в виде:
где Так как то из соотношения следует, что в .Таким образом, , тем самым теорема 2 доказана.
Следует отметить, что пользуясь методом работы [1, с.1420], можно доказать существование собственной функции задачи BS.
Литература:
1. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц.уравнения, 1977.- Т.13, №8.-С.1418-1425.
Достарыңызбен бөлісу: |
