Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

14. Ғ (х) = хх — 2х1 -f- 5. Доказать, что F (a) = F  (— а).
15. Ф (2') = 2а— 5z. Доказать, что Ф (— z) =  — Ф ( 2).
16. / (0 = 2£4 
^ 
ү + bt. Доказать, что 
=
17. f (x ) =  sin х —
c o s a t. 
Доказать, что /(1) 
0.
18. ф (х) —  lg х. Доказать, что <
|>
(jc) —
}—
tji (х -}- 1) = <
|>
[х (х -|- 1)].
19. F (z ) — as. 1) Доказать, что при любом z справедливо соотно­
шение
F ( — z )- F (z )—  1 = 0 .
2) Доказать, что
F W - F i y ) = * F { x + y ) .
20. Даны график функции у = /(х ) и значения а и b независимой 
переменной х (рис. 3). Построить на чертеже /(а) и /(&). Каков гео­
метрический 
смысл 
отношения 
f ( h ) - f ( a ) ?
Ъ - а
21. Показать, что если лю­
бая 
хорда графика 
функции
y — f (x ) лежит выше стягиваемой 
ею дуги, то имеет место неравен­
ство
f (хі) ~Ь/ (*2) 
-f- -Уд j
для всех Х[ ф хч. 
рис< &
22. Дано: / (х) — х 2— 2х-|-3. Найти все корни уравнения a) f(x ) =  
= / (Q); б) / (*) = / ( - 1).
23. Дано: f (x ) — 2xA— 5л:2— 23х. Найти все корни уравнения 
/ (* ) = / ( - 2).
24. Дана функция f(x). Указать хотя бы один корень уравнения 
f (x ) — f(a).
25.
Указать диа корня уравнения / (х) = f  f \, 
если 
известно,
что функция f (x ) определена в интервале [— 5, 5]. Найти все корни
данного уравнения для случая, когда /'(л') = аг2— 1 2jc —
{- 3.
26. F (х) — х “ -f-б; ср(х) = 5х. Найти все корни уравнения F (x ) =
=  I ? С*) |.
27. /(х ) = х  -f-1; ср (лг) = .л; — 2. Решить уравнение
1/С*) + ? С*)I = 1/С*) I + 1 ¥ (*) I-
28. Найти значения а и b в выражении функции f (х) — ах* -f- Ьх -f- 5, 
для которых справедливо тождество / (лг —
(—
1) — /(дг) = 8-v-J-3.
29. Пусть / (jc) = а • cos (Ьх -{- с). При каких значениях постоянных
а, b и с выполняется тождество / (л* -j-1) — / ( х ) =  sin х.
§ !. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 
О 
ФУНКЦИИ 
9

10
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
С л о ж и ы е фу н к ц и и
30. Дано: y = z-, z — x - j- 1. Выразить у  как функцию х.
31. Дано: у — У z -|- 1, z = ig*x. Выразить у  как функцию х.
32. Дано: y = z\ z — \ fx - J-1, х = а1. Выразить у  как функцию t.
33. Дано: у —  sin х; 
v = lg
у; и = У~ 1 -|- "г. Выразить и как функцию х.
34. Дано: у =  1 -j- х; z — cos у\ v = У I — z-. Выразить v как функцию х.
35. Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, 
составленных из основных элементарных функций:
2) У -
1) у —  sin х\
У (1 -\-х)*; 3) y — \g tgx~
4) у =  sin3 (2х -}- 1); о) у =  5 (3а‘ + ’)*.
Л 36. f (x) — х'л — х', cp(x)= sin 2.x. Найти:
а) /
Д) /
? ( й ) ] : б> ?[/ (!)]; °)< р [/(2)]; 0 /[?<•*)]:
f / W ]; е) / { / [ / ( 1)]}; ж)
37. Доказать справедливость следующего способа построения графика
сложной функции y — f [ y (x )]— F (x )n o  из­
вестным графикам составляющих функций: 
у —  / (х), у = <р(х). Из точки Л. графика 
функции ср (х) (рис. 4), соответствующей
данному значению независимой переменной 
х, проводится прямая, параллельная оси Ох, 
до пересечения в точке В  с биссектрисой 
первого и третьего координатных углов; 
из точки В  проводится прямая, парал­
лельная оси Оу, до пересечения с графи­
ком функции f (х) в точке С. Если из точ­
ки С провести прямую, параллельною оси 
Ох, то точка 
D ее пересечения с пря­
мой N N ' будет точкой графика функции F (х), 
соответствующей взятому
значению лг.
Н е я в н ы е ф у н к ц и и
38. Написать в явном виде функцию у, неявно заданную следующим 
уравнением:
.У2
1) ** + У » = 1; 2)
а3; 4) ху —  С; 5) 2ху =  5;
дг 
^ = 1; 3) х * + у
G) lg Аг + lg О -h 1) = 4; 7) 2х +у (х* — 2) = * 3 + 7;
S) (1 —
{—
х) cos у  — х~ —  0.
39*. Показать, что при „v^>0 уравнение ,у-]-|-У|— х — |л'| = 0 
определяет функцию, графиком которой является биссектриса первого 
координатного угла, а при дг^О данному уравнению удовлетворяют 
координаты всех точек третьего координатного угла (включая. и его 
граничные точки).

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: