Мұнда бастапқы нүкте (0;0) ерекше нүкте болады. Егер теңдеуді -ке арнап шешсек, онда
қисығының симметриялы екі тармағының айқындалған теңдеулері шығады. х=0 болғанда екі тармақ үшін де себепті, олардың екеуі де х осін бастапқы нүктеде жанайды да, осы нүктеде сүйір ұш пайда болады (қайтарым нүктесі).
4 ) Астроида (116-сурет)
Бұл теңдеу, дұрысын айтқанда, біздің қарастырамыз деген типке жатпайды: және нүктелерінің әрқайсысында теңдеудің сол жағының дербес туындыларының біреуі айналады. Алайда, қисықтың теңдеуін былай жазып, иррационалдықтан құтылуға болады. Теңдеуді осылай жазғанда аталған нүктелер ерекше нүктелер болмақ.
Қисықтың теңдеуіне қарап, оның дөңгелегінің ішінде жататынын және координаталар осьтеріне қарағанда симметриялы болатындығын көреміз, сондықтан бірінші квадратты ғана қарастырамыз. Теңдеудң у-ке арнап шешіп:
х=0 болғанда жанама вертикаль орналасатынын, ал х=а болғанда, горизонталь орналасатынын көреміз. Бұдан барлық ерекше төрт нүктеде де сүйір ұш (қайтарым нүктелері) пайда болатыныны шығады.
Астроиданың параметрлік теңдеулерін шығарып алу үшін, және өрнектерінің квадраттарының қосындысы – қисықтың теңдеуі бойынша– бірге тең болатындығын пайдаланамыз. Оларды cos t мен sin t-ге теңестіріп, мынадай
параметрлік теңдеулерге келеміз.
мәндерінде
туындыларының екеуі де 0-ге айналатындықтан, параметрдің осы мәндеріне жоғарыда көрсетілген ерекше нүктелер сәйкес келеді.
5)
