Таңбалары ауыспалы қатарлар, (6), (7) қатарларын қарастырамыз. Анықтама 4
жүктеу/скачать 369,7 Kb.
|
01.02-8.02 Таңбалары ауыспалы қатарлар. Дәрежелі қатарлар
123
| Анықтама 6. (7) қатары Тейлор қатары деп аталады, ал егер болса, ол Маклорен қатары болады.
Әрбір элементар функция үшін интервалында Тейлор қатарына жіктелетіндей және сандары табылатындығын айта кеткен жөн. Кейбір функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін дәлелдеусіз көрсетеміз: 1. , 2. , 3. , 4. 5. Е с к е р т у . Көрсетілген жіктеулерді күрделі функциялар үшін де қолдануға болады. Мысалы: 1. , 2. , 3. . жіктелуіндегі деп есептейміз және х-тің орнына ( )-ты қоямыз. жинақтылық интервалы: болады және: . 4) болғандықтан, үшін: , . Бұл қатар болғанда жинақты екенін көрсетуге болады. Онда болғанда: . Бұл -ді есептеу формуласы. Алғашқы функциясы элементар функциялар болмайтын интегралдарды кейде қатарлардың көмегімен есептеуге болады. Мысал 7. интегралын есепте. Шешуі. , , екенін ескеріп, екі жағын да интегралдасақ: . Тейлор қатары, жалпы айтқанда, дәрежелік қатарлар дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу үшін жиі қолданылады. Мысал 8. Берілген теңдеуінің жалпы шешімін тап: Шешуі. , Шешімді түрінде іздейміз. Бастапқы шарттарды ескерсек: Ары қарай, -терді теңдеуге қойып, -тің бірдей дәрежелерінің коэффиценттерін теңестірсек: Ендеше, . Бұдан, дербес шешім Мысал 9. функциясын аймағындағы Тейлор қатарына жікте. Шешуі. Туындыларын табамыз: болғанда: функциясының аймағындағы Тейлор қатары мына түрде болады: . Алынған қатар еселігі болатын геометриялық қатар: . Ендеше, қатар аралығында абсолютті жинақты. Онда , . Мысал 10. Берілген функцияны Тейлор қатарына жікте: . Шешуі. Берілген бөлшекті қарапайым бөлшектерге жіктейміз: ; . Бұдан, және дей отырып, екендігін аламыз.Ендеше, . (8) формуласын қолданып, әрбір қарапайым бөлшектерді жеке-жеке қарастырамыз: ; . Табылған жіктеуді (8)-ге қойсақ: , және болады. Сонымен, . Мысал 11. функциясын Тейлор қатарына жікте. Шешуі. екені бізге мектеп курсынан белгілі.. функциясын 3 пункттегі формула бойынша жіктесек ( -ті -ке ауыстырсақ), онда: , егер . Мысал 12. функциясын Тейлор қатарына жікте. Шешуі. қарастырамыз. 5 пункттегі жіктеуді қолдансақ, -ті сәйкесінше және -пен алмастырсақ: Алынған жіктеу дұрыс болады, егер , яғни, болса. Мысал 13. функциясын Тейлор қатарына жікте. Шешуі. , мұндағы , жіктеуін қолданамыз. деп алып, -ті -ке айырбастасақ, онда . Жіктеу дұрыс болады, егер , яғни, . - гармониялық қатар, жинақсыз болады. -таңбасы алма-кезек ауыспалы қатар, бұл жинақты қатар (мысал 6). Сонымен, берілген дәрежелік қатардың жинақтылық облысы: . (3) қатарының жинақтылық интервалы , мұндағы - (4) қатарының жинақтылық радиусы. -кез келген бүтіндей (3) қатарының жинақтылық интервалының ішінде жататын кесінді болсын. Онда: (3) қатары мажорланған ( бірқалыпты жинақты) кесіндісінде. (3) қатарының қосындысы жинақтылық интервалында үзіліссіз. (3) қатарын кесіндісінде мүшелеп интегралдауға және қанша болса сонша рет мүшелеп дифференциалдауға болады, сонымен қатар, алынған дәрежелік қатардың жинақтылық интервалы (3) қатарының жинақтылық интервалымен бірдей. жүктеу/скачать 369,7 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|