Литература: [13] гл. I, §1-2.
11 неделя
Тема: Вычисление значений функций.
Содержание лекции: Аналитическая функция. Показательная и логарифмическая функция. Тригонометрическая и гиперболическая функции.
Действительная функция f(x) называется аналитической в точке ξ, если в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):
(1)
При ξ = 0 получаем ряд Маклорена
(2)
Разность называется остаточным членом и представляет собой ошибку при замене функции f(x) полиномом Тейлора
Как известно,
(3)
где 0<Θ<1. В частности, для ряда Маклорена (2) имеем:
где 0<Θ<1. Имеются также другие формы остаточных членов.
Разложение функции в ряд Тейлора во многих случаях является удобным способом вычисления значений этой функции. Если f(ξ) известно и требуется найти значение f(ξ+h), где h — «малая поправка», то формулу (1) выгодно записывать в виде
(5)
где
Для экспоненциальной функции ех справедливо разложение
(6)
и нтервал сходимости которого
Остаточный член ряда (6) имеет вид
При больших по модулю значениях х ряд (5) мало пригоден для вычислений. Поэтому обычно поступают следующим образом: пусть
где Е(х) — целая часть числа х и —дробная часть его. Имеем:
(8)
Первый множитель произведения (8) может быть найден с помощью умножения:
или
где и
Достарыңызбен бөлісу: | 
