Теорема 1. Айталық, оң сандары берілсін. Сонда бұл сандар үшін мынадай теңсіздік орындалады: және бұл теңсіздік теңдігіне тек болған жағдайда ғана айналады.
Дәлелдеу. Бұл теңсіздікті дәлелдеу үшін математикалық индукцияның жалпыланған принципінің келесі нұсқасы қолданылады: Егер болатын кейбір тұжырымы келесі шарттарды қанағаттандырса:
а) бұл шексіз өспелі натурал сандар тізбегінің (барлық натурал сандарды қамтуы міндетті емес) кез келген мүшесіне тең n саны үшін ақиқат;
б) егер тұжырымы кейбір натурал n = m үшін ақиқат болса, мұндағы m ≥ 2, онда n = m − 1 үшін де ақиқат болса, тұжырымы кез келген натурал үшін ақиқат болады.
Бұл теңсіздіктің дербес жағдайы арифметикалық орта мен геометриялық орта арасындағы теңсіздік ретінде кеңінен танымал.
Теорема 1.1.Кез келген a, b > 0 үшін екі санның геометриялық ортасы олардың арифметикалық ортасынан аспайды:
Дәлелдеу. Ол толық квадратты бөлу әдісі арқылы жүзеге асырылады:
Бұл теңсіздік ақиқат болсын делік: ;
«Айырманың квадраты» формуласын қолданайық: ;
Теңсіздіктің екі бөлігіне де 4ab қосайық, сонда: ;
«Қосындының квадраты» формуласын қолданайық: ;
Теңсіздіктің екі жағын 4-ке бөлетін болсақ: .
Шарт бойынша a және b оң болғандықтан, теңсіздіктің екі бөлігінен де квадрат түбірін шығарамыз: Теңсіздік дәлелденді.
Коши теңсіздігінен мынадай салдар шығады:
Теорема2. Егер бірнеше нақты оң сандардың көбейтіндісі бірге тең болса, онда олардың қосындысы олардың санынан кем емес және ол барлық сандар сәйкес келген кезде ғана олардың санына тең болады, яғни әрқайсысы бірге тең болғанда ғана орындалады (демек, егер осы сандардың арасында кем дегенде екі өзара сәйкес келмейтін сан болса, онда барлық осы сандардың қосындысы олардың санынан қатаң үлкен болады): .
Дәлелдеу. Оң сандары берілсін, мұндағы натурал , , екені белгілі, онда оларға Коши теңсіздігін қолданып, мынаны аламыз: осыдан дәлелденетін қатынас шығады және ол теңдікке мына жағдайда ғана айналады, егер тек , бірақ , осыдан теорема тұжырымының екінші бөлігі шығады.
Коши теңсіздігін дәлелдеудің басқа да әдістерін қарастырайық.
Алдымен арифметикалық орта, геометриялық орта және де басқа орта мәндер жайлы түсініктер берейік.
