Решение дифференциальных уравнений методом Ренге-Кутта



жүктеу/скачать 184,11 Kb.
Дата25.12.2021
өлшемі184,11 Kb.
#128662
Байланысты:
Рунге-Кутта әдісі
КТЖ БАРЛЫК СЫНЫПТАР 2022-2023, 9 кл, 20.10.2022 5 сынып, 00068059-e9f9fca7, 9-ожсб, 1 тест Укажите правильную последовательность падежей

Дифференциалдық теңдеулерді шешу Ренге-Кутта әдісі

Әдіс Рунге Кутта


Теңдеудің сандық шешімін табу қажет болсын y '= f (x, y), болған жағдайда у (x0) = y0

Әдістің идеясы - айырмашылықты көрсету



Δy(x) = y (x + сағ) -y (x) (1.1)

Түзетулердің жиынтығы ретінде кj коэффициенттерімен Рj





Δy= б1к1+ б2к2+ ... + бrкr ,


Әдіс Рунге Кутта


қайда к1= f (x, y),



к2= f (x + α2h, y = β21к1), ...,



кr=hf(x + αrh, y = βr1к1+ βr2к2+ ... + βrr-1кr-1).

Мүмкіндіктер Рj , αj , βджи кеңейтулерді салыстыру арқылы табыңыз Δy және кмен дәрежелер бойынша h...




Әдіс Рунге Кутта


Егер r = 4 алу

(1.2)


(1.3)




Әдіс Рунге Кутта


Сағат x = x0 (1.1) - (1.3) формулаларын қолданып табамыз

(1.4)




Әдіс Рунге Кутта


Қайда

(1.5)


(1.6)




Әдіс Рунге Кутта


Мысал. Ренге-Кутта әдісі арқылы теңдеу үшін Коши есебінің шешімін табыңыз y` = yx2, y (1) = 0,

x [12] алғашқы бес ұпайды алып h = 0,1

Шешім. Өйткені бұл мысалда f (x, y) = yx2 , және шартқа байланысты x0 = 1, ж0 = 0,

содан кейін f (x0 , ж0 ) = y0- = 0-1 = -1.
















Әдіс Рунге Кутта


(1.6) формулаларды пайдаланып табамыз

(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз


















Әдіс Рунге Кутта


Мағынасы ж1 формула бойынша есептеледі ж1 = y0+ Δy0 (1.4) формуланы қараңыз мен= 0).

ж1 = 0 + (- 0,1158) = - 0,1158

Осылайша, шамамен алынған мән



ж1 =-0,1158 сағ x1 = 1.1
















Әдіс Рунге Кутта


C үшін (1.6) формулаларды қолдану мен= 1 жуық мәнді табыңыз ж2 сағ x2 = 1.1, сол теңдеу үшін Коши есебін шешу y` = yx2 ,



у (1,1) = - 0,1158...

Әрі қарай табамыз ж3,ж4,ж5...


















Әдіс Рунге Кутта



(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз



















мен

xмен

жмен

бj

0

1

0

1

-1

-0,1

1

1.05

-0,05

1.1025

-1,1525

-0,1153

2

1.05

-0,0576

1.1025

-1,1601

-0,1160

2

1.1

-0,116

1.21

-1,326

-0,1326

1

-0,695

-0,1158

x1 = x0+ h = 1,1

ж1 = y0+ Δy0 =0 + (- 0,1158) = - 0,1158

1

1.1

-0,1158

1.21

-1,3258

-0,1326

1

1.15

-0,1821

1.3225

-1,5046

-0,1505

2

1.15

-0,191

1.3225

-1,5135

-0,1514

2

1,2

-0,2672

1.44

-1,7072

-0,1707

1

-0,9071

-0,1501

x2 = x0+ 2сағ = 1,2

ж2 = y1+ Δy1 =-0,1158 + (- 0,1501) = - 0,2659

Әдіс Рунге Кутта



(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз



















мен

xмен

жмен

бj

2

1,2

-0,2659

1.44

-1,7059

-0,1706

1

1.25

-0,3512

1,5625

-1,9137

-0,1914

2

1.25

-0,3616

1,5625

-1,9241

-0,1924

2

1.3

-0,4583

1.69

-2,1483

-0,2148

1

-1115

-0,1925

x3 = x0+ 3сағ = 1,3

ж3 = y2+ Δy2 = -0,2659+ (- 0,1925) = - 0,4584

3

1.3

-0,4584

1.69

-2,1484

-0,2148

1

1.35

-0,5858

1,8225

-2,3883

-0,238сегіз

2

1.35

-0,5778

1,8225

-2,4003

-0,2400

2

1.4

-0,6984

1.96

-2,6584

-0,2658

1

-1,4382

-0,2397

x4 = x0+ 4сағ = 1,4

ж4 = y3+ Δy3 =-0,4584 + (- 0,2397) = - 0,6981

Әдіс Рунге Кутта



(1.5) формуласын пайдаланып есептейміз



















мен

xмен

жмен

бj

4

1.4

-0,6981

1.96

-2,6581

-0,2658

1

1.45

-0,831

2.1025

-2,9335

-0,2934

2

1.45

-0,8448

2.1025

-2,9473

-0,2947

2

1.5

-0,9928

2.25

-3,2428

-0,3243

1

-1,7663

-0,2944

x5 = x0+ 5сағ = 1,5

ж5 = y4+ Δy4 = -0,6981+ (- 0,2944) = - 0,9925

Әдіс Рунге Кутта


Жаттығу: Рунге-Кутта әдісі бойынша, қабылдау h = 0,1, шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулердің жуық шешімдерін табыңыз:



1.



2.



3.



4.



5.
















жүктеу/скачать 184,11 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:



©www.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет