Сабақтар боөЖ 0 Емтихан семестр Өскемен, 2019 ж

Анықтама.


y^  P(x) y  Q(x)  y^

түріндегі дифференциалдық теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады, мұндағы
  0

,  1,
P(x), Q(x) - қандай да бір кесіндіде үзіліссіз функциялар. Бұл теңдеу
_{u  y}1

айнымалысын ауыстыру көмегімен сызықты теңдеуге келтіріледі

Мысал 1. Шешуі:
y^  xy  x  y ²
Бернулли теңдеуін сызықты теңдеуге келтір.

  2  u  y^1

 ¹  u^   ¹

y y²
y^  y^   y²  u^  y^   ^u 
_u 2

  ^u

_u 2

• 
  ^x   ^x u u ²
  

^{ u  xu  x  u  xu  x} .

Мысал 2.
y^  2e^x y  2e^x
Бернулли теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Берілген теңдеудегі
  ¹ ,
2

сондықтан

z  y^1 


белгілеуін енгіземіз.

z^  e^x z  e^x
теңдеуін аламыз, бұл сызықты теңдеу және оның жалпы шешімі:

z  e
_ e dx _

 _

x


e^xe
_ e^xdx
dx  C ^  e




e^x _



x
_ex_ee
dx  C 
 e^ex <sub>


ee</sub>x


de^x
 C 

 e^ex e^ex  C  1  Ce^ex .
Онда берілген теңдеудің жалпы шешімі:
y  z ²  1  Ce ^ex 2 .

Мысал 3.
ху^  у  ху ² ln x
теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Берілген теңдеудің екі жағын да х  0
айнымалысына бөліп, Бернулли теңдеуін

алуға болады, мұндағы   2. Ал біз бұл теңдеуді Бернулли ауыстыруы әдісімен
шығаралық ^{y  uv, y  uv  uv:}
x u^v  uv^  uv  xuv² ln x.

xv^  v  0
теңдеуінен,
v  x ^1
аламыз. Енді
xvu^  xu ² vln x
теңдеуінің жалпы

шешімін табу қажет, мұндағы
v  x ^1 . Онда
u^  u ^{2 ln x}
x
теңдеуін аламыз.

Айнымалыларды ажыратып, интегралдасақ:


^du  ln x ^dx ,
_u 2 _x
du _

2 
u
ln x ^dx ,
x

 ¹ 
u
ln ² x

2

• 
  ^C , 2
  

u  
2 _.
C  ln ² x

Сонымен, берілген теңдеудің жалпы шешімі:

y  uv   _
2

x C  ln

x
_{2 }. ^◄

3. 
   дәріс. Толық дифференциалды теңдеулер.
   

Дәрістің қысқаша мазмұны:

Анықтама.


M (x, y)dx  N (x, y)  0

(1)

түріндегі дифференциалдық теңдеу толық дифференциалды теңдеу деп аталады, егер толық дифференциалы қандай да бір облыста теңдеудің сол жағындағы өрнекке

тең болатын u(x; y)
функциясы табылса.

Сонымен,
Mdx  Ndy  du( x )  ^u dx  ^u dy  0

(2)

x y
Теорема 1. M (x; y), N (x; y) үзіліссіз және дифференциалданатын функция

және ^M
y
пен ^N
x
қандай да бір облыста үзіліссіз болсын. (1) теңдеуі толық

дифференциалды теңдеу болуы үшін:

M _ N
y x
(3)

шарты орындалуы қажетті және жеткілікті. Және жалпы интеграл мына түрде жазылады:
x ^y
_ M( x; y )dx  _ N( x₀ ; y )dy  C ^,

немесе:
x₀ y₀

x ^y
(4)


_ M x, y₀ dx  _ N x, ydy  C,
(5)

мұндағы
М х
x₀ y₀

0

0,
у  D .

0
Мысал 4. (3x³  6xy ² )dx  (6x ² y  4 y ³ )dy  0
Шешуі:
теңдеуін шеш.

M  3x³  6xy ² ,N  6x² y  4 y³ және
^M  ^N  12xy
y x

болғандықтан, бұл толық

дифференциалды теңдеу.
(x₀ ; y₀ )  (0;0)
болсын. Онда

x
_ (3x²
0
интеграл.

• 
  6xy²
  

y
)dx  _ 4 y
0
³ dy 
x³
 3x²
y ² x  y


0
4 ^y _{ x}3
0
 3x² y ²

• 
  y ⁴
  

 C - жалпы

Мысал 5. x ²  y  4dx  x  y  e^x dy  0
теңдеудің жалпы интегралын тап.

P  x ²  y  4,
Q  x  y  e ^y
белгілеуін енгіземіз.
^P  1,
y
^Q  1, яғни, (3)
x

шарты орындалады, берілген теңдеу толық дифференциалды теңдеу. Оның жалпы

интегралын (4) немесе (5) түрінде іздейміз, қарапайымдылық үшін х₀  0,
у₀  0 деп

аламыз. х₀ , у₀ -дің бұл мәндерін таңдап алуымыз дұрыс, себебі ^{Px, y, Qx, y}

функциялары мен оның дербес туындылары осы нүктеде анықталған, яғни,

4. 
   формуласынан:
   

М ₀ 0,0 D.

x ^y
_ x²  0  4dx  _ x  y  е ^у dy  C,
0 0

_х3 

3
4х  ху  ^у

2
2

• 
  е ^у
  

1  С,

ал (5) формуласынан:



x ^y
_ x²  у  4dx  _ 0  y  е ^у dy  C,
0 0

_х3 

3
ху  4х  ^у

2
2

• 
  е ^у
  

1  С

шығады, бұл (4) формуласынан табылған жалпы интегралмен беттеседі.

3. 
   дәріс. Туындыға қатысты шешілмеген дифференциалдық теңдеулер
   

Дәрістің қысқаша мазмұны:

F x, yx, y^x  0

(1)

Егер (1) теңдеуі ізделінді функция у-тің туындысына байланысты шешілмесе, яғни
нормаль формаға келтірілмесе, онда туындысы бойынша шешілмеген теңдеулер типіне жатады дейді.
Қандай да бір (а,в) аралығында анықталған үзіліссіз y  yx функциясы (1) теңдеуін
тепе-теңдікке айналдырса, онда бұл функция (1) теңдеуінің шешімі болады. Кейбір
жағдайларда дифференциалдық теңдеулердің шешімі x  t, c , y   t, c параметрлік
түрінде немесе x, y, c  0 айқындалмаған функция түрінде беріледі.

Мысал 1.
y^2  1  0
y^2 1  0
теңдеуінің шешімі нақты сандар өрісінде жоқ.

Мысал 2. y^  1y^  1  0
y^  1

немесе
y^  1
y  x  c

Кейбір туындысы бойынша шешілмеген теңдеулерді ізделінді функцияның туындысына байланысты шешілсе шешіп, алынған бір немесе бірнеше теңдеулерді түріне қарай ажыратып шешімін табамыз.
Кейбір туындысы бойынша шешілмеген теңдеулер ізделінді функция у бойынша

және тәуелсіз айнымалы х бойынша шешілсе, онда
y^  p
деп параметр енгізу әдісін

пайдаланып, алынған алгебралық теңдеудің екі жағын толық дифференциалдап
dy _{ p} dx

^{ауыстыруын қайтадан жасап, дифференциалдық теңдеудің шешімін параметр} u ^мен v
айқындалмаған функция түрінде беруге болады.

y  f x, y^
(2)

x  gy, y^
(3)

⁽²⁾ y^  p 
y  f x, p
(*)

dy  ^f
x
dx  ^f dp
p

pdx  ^f
x
dx  ^f dp
p

^ p  ^{f }dx  ^f dp

(4)




^ x ^ p
Алынған (4) теңдеуі х және р-ға байланысты бірінші ретті теңдеу түріне қарай
ажыратып, p  px, c түрінде шешімін алсақ, ондағы р-ның мәнін (*)-ға қоямыз. Сонда (*)
 y  f x, px, c ^{шешімін аламыз.}

жүктеу/скачать 284,49 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: