дәріс. Сызықтық дифференциалдық жоғарғы ретті теңдеулер

1

2
Ly y^{n }  a y^n1  a
y^{n2 }    a


n1
y^  a y 
f x,
(1)

i

1

n
^{мұндағы} a_i  a x, i  1, n ^{теңдеудің коэффиценттері, қандай да кесіндіде үзіліссіз} функциялар.

Теңдеудің оң жағы
Ly  y ^{n }  a y ^n1  a y сызықтық оператор деп

аталады.
Ly  y   Ly  Ly

1

1
2
 және LCy  CLy теңдігі орындалатынына оңай

2
көз жеткізуге болады, C  const .
Теорема 1 (Пикар). Қандай да бір ^D облысының барлық нүктелерінде үзіліссіз

i

i
болатын a  a x, i  1, n және ^{f x} функциялары үшін (1) Коши есебінің тек

жалғыз ғана шешімі табылады.

i

i
Ары қарай, біз a  a x,

i  1, n

және
f x

функцияларын ^D облысында

үзіліссіз деп қарастырамыз.

1. 
   Сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі.
   

Ly 0
(2)

Анықтама 2.
y₁ , y₂
,..., y_m
функциялары a ;b
аралығында сызықты тәуелді деп


аталады, егер төмендегі теңдеуді қанағаттандыратын барлығы бірдей нөлге тең емес

m

m

1



m
,₂ ,..., , тұрақтылары табылатын болса:

1 ^y1
 ₂ y₂
 ...   y
 0 ,
x  a ; b

кері жағдайда, сызықты тәуелсіз деп аталады.
Мысал 1.
а) y₁  x , y  x , y  3x , y  2x  x - функциялары ^ ;^
2 2

2

4
3
аралығында сызықты тәуелді, себебі:

1

2

3

4
1)   3 ,  0,  1,  0  3y
1
 0  y₂

• 
  y₃
  

 0  y₄  3y₁  y₃  3x  3x  0  y₃ 

1

2

3

4
2)   2 ,  1,  0,  1  2 y  y
1 2
 y₄  2x  x  2x  x   0  y  2 y  y
2 2

4
1

б) 1, x , x² функциялары ^ ;^
аралығында сызықты тәуелсіз, себебі

₁  ₂ x  ₃ x² =0 теңдігі барлық x үшін емес, тек x -тің екі мәні үшін ғана орынды.

Сызықты тәуелді
y₁ , y₂
,..., y_n
функцияларының n  1
- ші ретке дейінгі

туындылары бар болса, онда олар Вронский анықтауышы деп аталатын:

W y₁ ; y₂ ;; y_n 
анықталады.
y₁ y^

1

y
n1
1
y₂ 

2
y^ 

y


n1
2
y_n

n
y^

y
n1 n

анықтауыш көмегімен

Теорема 2. Егер
y , y ,..., y
функциялары a ; b,
аралығында сызықты тәуелді

1 2 n

болса, онда осы a ;b
аралығында
W y , y ,..., y   0 ^.

1 2 n

Теорема 3. Егер (2) теңдеуінің дербес шешімдері
y₁ , y₂ ,..., y_n
a ;b аралығында

1

2
^{сызықты тәуелсіз функциялар болса, онда} x  a ; b:
W y , y
,..., y_n   0 ^.

^{Анықтама 3. Кез келген (2) теңдеуінің} n ^{сызықты тәуелсіз дербес шешімдер} жүйесі фундаментальдық шешімдер жүйесі деп аталады.
Теорема 4. (2) дифференциалдық теңдеуінің әрқашанда фундаменталдық шешімдер жүйесі табылады.

Теорема 5. Егер
y₁ , y₂ ,..., y_n

• 
  (2) теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда
  

y  C₁ y₁  C₂ y₂    C_n y_n , (3)
^{мұндағы} C_i , i  1, n ^{- кез келген тұрақтылар және бұл да (2) теңдеуінің шешімі} болады.

2. 
   ^{шешімінде} n ^{тұрақты бар. Қандай шарт орындалғанда (3) шешімі (2)}
   

теңдеуінің жалпы шешімі болады.

Теорема 6. Егер (2) теңдеуінің дербес шешімдері
y₁ , y₂ ,..., y_n
фундаменталдық

шешімдер жүйесін құраса, онда (3) шешімі (2) теңдеуінің жалпы шешімі болады.

Мысал 2.
_ex _{, e} x _{, e}2 x
функциялар жүйесі
y^  2 y^  y^  2 y  0
теңдеуінің

фундаментальдық шешімдер жүйесі болатынын көрсет және оның жалпы шешімін жаз.

Шешуі:
y  e^x , y  e^{ x} , y  e^{2 x}
функциялары мен оның туындыларын берілген

1 2 3
теңдеуге қою арқылы олар теңдеудің шешімі болатынына көз жеткізуге болады. Оның вронскианы:

_ex
W e^x , e^x , e^2x  e^x
_ex
_e x

• 
  _e x
  

_e x
_e2 x
_2e2 x
_4e2 x
1
_{ e}x_e x_e2 x ₁
1
1 1
1 2  6e^2x  0 .
1 4

Ендеше,
_ex _{, e} x _{, e}2 x
сызықты тәуелсіз функциялар және берілген теңдеудің

фундаментальдық шешімдер жүйесін құрайды. Оның жалпы шешімі (4) формуласына сәйкес:
^~y  C e^x  C e^{ x}  C e^{2 x} .
1 2 3

Мысал 3.
y^  2 y^  y^  2 y  2x  1
теңдеуінің жалпы шешімін жаз, егер оның

дербес шешімдерінің біреуі y*  x  1 функциясы болса.

Шешуі: Сәйкес біртекті дифференциал теңдеудің жалпы шешімі ^~y табылған, онда теңдеудің жалпы шешімі:
y  ^~y  y*  y  C e^x  C e^{ x}  C e^{2 x}  x  1 .

2. 
   мысалда
   

1 2 3

11. 
    дәріс. Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
    

1

n

2
Ly y^{n }  a y^n1  a
y^{n2 }    a


n1
y^  a y 
f x,
(1)

^{коэффиценттері деп аталатын барлық} a_i ,


i  1, n

• 
  тұрақты сандар болса, онда ол тұрақты
  

коэффициентті сызықты дифференциалдық теңдеулер деп аталады.


Жоғарғы ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер

Оң жағы нөлге тең болатын теңдеулер жүйесінің фундаменталдық шешімдер жүйесін табайық:

Оның дербес шешімін

L[y]=0 (2)
y  e^kx түрінде іздейміз, мұндағы k - қандай да бір тұрақты.

Осы тұрақтыны табалық. (2)-ге
y  e^kx қойсақ:

1

2
Le ^kx  e^kx k ⁿ  a k ^n1  a
k ^n2  a


n1
k  a_n
 0 .

x :
e^kx  0
болғандықтан,
y  e^kx

2. 
   теңдеуінің шешімі болады, егер k
   

мінездемелік деп аталатын мынадай алгебралық теңдеудің түбірі болса:

1

n
k ⁿ  a k ^n1  a
 0 .

n  2
тоқталайық:
жағдайы үшін фундаменталдық шешімдер жүйесін табу мәселесіне

y^  py^  qy  0
. (3)

Бұл теңдеудің мінездемелік теңдеуі былай болады:
k ²  pk  q  0 . (4)

1
Ол алгебралық квадраттық теңдеу болғандықтан, мынадай жағдайлар болуы мүмкін:

1. 
   D  p ²  4q  0 . Онда
   

^k₁ ^{ k}₂ - (4) теңдеуінің нақты түбірлері.
y  e^k1x
және

2
y  e^{k2 x} дербес шешімдері фундаменталдық шешімдер жүйесін құрайды, себебі

W


^k₁ ^{ k}₂ .
y₁ , y₂  
y₁ y₁^
y₂
y₂^
_ek₁x

_{k e}k₁x

_ek₂ x

2
_{k e}k₂ x
_{ e}k₁ k₂ x _ ¹
k₁
¹  e
k₂
k₁ k₂ x

• 
  k₂  k 
  

 0 , өйткені

Сызықты теңдеулердің жалпы теориясын қолданып, (3) теңдеуінің жалпы шешімін аламыз:

1 2
y  C e^k1x  C e^{k2 x}

2. 
   D  p ²  4q  0 . Түбірлері түйіндес комплекс сандар:
   

^k1,2
(5)
   i . Теңдеудің

дербес шешімдері былай болады:
^y1,2
_{ e} i x _{ e}x _{ e}i
 e^x cos x  i sin x.

Сызықты операторлардың қасиеттерінен:
^{LU x iV x LU  iLV   0 LU   0} және ^{LV   0} екендігі шығады, яғни, теңдеудің

1

2
фундаменталдық шешімдер жүйесі Ендеше, теңдеудің жалпы шешімі:
y  e^x cos x , y  e^x sin x
функцияларынан тұрады.

1
y  e^x C cos x  C
2
sin x. (6)

3. 
   D  p ²  4q  0 . Онда
   

k₁  k₂
 k   ^p . Тек бір ғана шешім табамыз:
2
y  e^kx .

1
Бірінші шешім
^y₁ -ге тәуелсіз теңдеудің екінші шешімін табамыз. Шешімді
y  U xe^kx

2

 
түрінде іздейміз.
Ly  e^kx  u^  2k  pu^  k ²  pk  q  u^  0 u  Ax  B  A  1,


B  0  u  x.

1
Теңдеудің фундаменталдық шешімдер жүйесі мына түрде болады: y  e^kx ,

2 1 2
y  xe ^kx , себебі W[ y , y ]  0. Онда берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

1 2
y  C e^kx  C xe ^kx . (7)
Сонымен, жалпы жағдайда, (2) теңдеуінің шешімін алу үшін:

1. 
   мінездемелік теңдеуін құру және оны шешу
   
2. 
   теңдеудің фундаменталдық шешімдер жүйесін табу:
   

А) әрбір бір еселі k нақты түбіріне
y  e^kx
дербес шешімі сәйкес келеді.

Б) Бір еселі әрбір
k_1,2    i
комплекс түбірлер жұбына

1
y  e^x cos x ,
y  e^x sin x
екі дербес шешім сәйкес келеді.

2
В) әрбір r - еселі k нақты түбіріне r дербес шешім сәйкес келеді:

y  e^kx ,
y  xe ^kx ,
y  x ² e^kx , ,
_xr 1_ekx _.

2

3
Г) әрбір r -еселі
k    i
комплекс түбірлеріне
^2r шешім сәйкес келеді:

1
y  e^kx cos x ,
y  xe ^kx cos x ,
y  x ² e^kx cos x , ,
y  x^{r 1}e^kx cos x ,

2

3

r

1
y  e^kx sin x ,
y  xe ^kx sin x ,
y  x ² e^kx sin x , ,
y  x^{r 1}e^kx sin x ,

2

3

r
Дербес шешімдердің саны тура n -ге тең және олар фундаменталдық шешімдер жүйесін құрайды.

3. 
   жалпы шешімін жазу:
   

y  C₁ y₁  C₂ y₂    C_n y_n .

Мысал 1. Берілген теңдеудің жалпы шешімін тап
y ^IV  2 y^  0 .
Шешуі.
а) Мінездемелік теңдеуін құрып, оны шешеміз:

k ⁴  2k ²  0 k ² k ²  2 0  k

1,2
 0 ,

^k_3,4 ^{ } .

б) y₁ ,
y₂ ,
y₃ , y₄
фундаменталды шешімдер жүйесін табамыз.

k  0 - екі еселі түбір, онда:
y  e^0x  1,
y  x  e^0x  x.

1

2
k  
2  y  e^
2x , k 
2  y₄  e
2x _.

3
в) Жалпы шешімі:
y  C₁

• 
  C₂
  

x  C e^
2x _{ C e} 2x

3

4
Мысал 2.
y^V  2 y^  y^  0

1
а) k ⁵  2k ³  k  0 k^k ²  1^2  0 k
 0,
k  i
- екі еселі түбір.

б) k  0  y₁  1,
k  i  y₂  cos x ,
y₃  sin x ,
y₄  x cos x ,
y₅  x sin x .

в) y  C₁  C₂ cos x  C₃ sin x  C₄ x cos x  C₅ x sin x .

11. 
    
    
    жүктеу/скачать 284,49 Kb.
    
    Достарыңызбен бөлісу: