Басылым: төртінші -бет

Сызықты алгебралық теңдеу жүйесін қарастырайық, яғни

және 1-ші өрнекті келтірейік:

Енді осы жүйедегі жақындаулар элементтерін х₁, х₂, ..., х_n элементері арқылы белгілейік, ал кезекті жақындаулар элементтерін y₁, y₂, …, y_n арқылы белгілейік. Сонда есептеуіш формула мына түрде болады:

Итерационды процестің әр бір қадамның у₁ мәнің есептеу кезінде у_1, у₂, ..., у_n алдында алынған мәні ескеріледі. Бұл мәселе Зейдел әдісінің негізгі ойы болып саналады. Осыған қарасты керекті есептеуіш формулаларды жазайық:

Сонымен сызықты алгебралық теңдеу жүйесін матрицалық түрде жазайық:

Мұндағы: А – матрица коэффициенті,

Алгебралық есептеулер сияқты А-ны А^т арқылы белгілейік. Енді 11-шы жүйеінің оң және сол жақ бөлігін сол жақтан матрица А^т-ға көбейтейік, сонда келесі мынадай жүйе шығады:

Шыққан жүйедегі А^т∙А көбейтіндісін С арқылы, ал А^т∙В көбейтіндісін D арқылы белгілейік, сонда келесі жаңартылған жүйе мынадай түрде болады:

Мұндай түрдегі жүйені нормал деп атайды. Осы нормал жүйе «жақсы» қасиеттерге ие, олар мыналар:

• 
  С матрицаның коэффициенті белгісіз нормал жүйеде симметриалы болып табылады (яғни );
  

Ең соңғы берілген ақиқат бойынша автоматты түрде 11-ші жүйені мына түрде жазуға болады:

мұндағы

Осы жасалған жаңартулар келесіден шығады, яғни 12-ші және 13-ші эквивалентті нормал жүйе Зейделдің итерационды процеспен анықталған, мұнда осы жүйедегі кез келген бастапқы жақындаулардың шешімі әр уақытта бір шешімге келіп отырады.

Uses CRT;
Const

maxn = 10;

Data = Real;

Matrix = Array[1..maxn, 1..maxn] of Data;

Vector = Array[1..maxn] of Data;

Procedure ReadSystem(n: Integer; var a: Matrix; var b: Vector);

Var

i, j, r: Integer;

r := WhereY;

GotoXY(2, r);

Write('A');

For i := 1 to n do begin

GotoXY(i * 6 + 2, r);

Write(i);

GotoXY(1, r + i + 1);

Write(i:2);

end;

Write('b');

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to n do begin

GotoXY(j * 6 + 2, r + i + 1);

Read(a[i, j]);

end;

GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r + i + 1);

end;

Procedure WriteX(n :Integer; x: Vector);

Var

i: Integer;

For i := 1 to n do

Writeln('x', i, ' = ', x[i]);

End;
{ Функция, реализующая метод Зейделя }

Function Seidel(n: Integer; a: Matrix; b: Vector; var x: Vector; e: Data) :Boolean;

Var

s1, s2, s, v, m: Data;

Begin
{ Исследуем сходимость }

For i := 1 to n do begin

For j := 1 to n do

If j <> i then

s := s + Abs(a[i, j]);

Seidel := false;

Exit;

end;
end;

For i := 1 to n do begin

s1 := 0;

For j := 1 to i - 1 do

s1 := s1 + a[i, j] * x[j];

For j := i to n do

s2 := s2 + a[i, j] * x[j];
{ Вычисляем новое приближение и погрешность }

v := x[i];

x[i] := x[i] - (1 / a[i, i]) * (s1 + s2 - b[i]);
If Abs(v - x[i]) > m then

m := Abs(v - x[i]);

End;
Var

n, i: Integer;

a: Matrix;

b, x: Vector;

e: Data;

ClrScr;

Writeln;
Writeln('Введите порядок матрицы системы (макс. 10)');

Repeat

Write('>');

Until (n > 0) and (n <= maxn);

Writeln;
Writeln('Введите точность вычислений');

Repeat

Read(e);

Writeln;
Writeln('Введите расширенную матрицу системы');

ReadSystem(n, a, b);

Writeln;
{ Предполагаем начальное приближение равным нулю }

For i := 1 to n do

x[i] := 0;

Writeln('Результат вычислений по методу Зейделя');

WriteX(n, x);

end

Writeln('Метод Зейделя не сходится для данной системы');

Writeln;

End.

>4
Введите точность вычислений

>.000001
Введите расширенную матрицу системы

A 1 2 3 4 b

2 0.3 5.3 0.9 -0.1 -17.82

3 0.2 0.3 3.2 0.2 9.02

4 0.1 0.1 0.2 -9.1 17.08

x1 = 5.2000000008E+00

x2 = -4.2000000028E+00

x3 = 3.0000000003E+00

x4 = -1.8000000000E+00

Бақылау сұрақтары:

1. 
   Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімінің болуының жеткілікті және қажетті шарты?
   
2. 
   Сызықтық теңдеулер жүйесін есептеудің дәл жуық әдістері?
   
3. 
   Зейдель әдісі дәл әдіс пе, әлде жуық әдіс пе?
   
4. 
   Зейдель итерациондық әдістерінің жинақталуының жеткілікті шарты.