Топтар Анықтама. Топ деп (алгебралық) операция берілген және операция ассоциатив, операцияға қатысты бейтарап элементі бар және операцияға қатысты кез келген элементі керіленетін бос емес жиын аталады.
Сонымен ◦ алгебралық операциясы берілген G жиынына 1) кез келген а, b , с элементтері үшін (а ◦ b) ◦ с = а ◦ (b ◦ с);
2) кез келген а элементі үшін а ◦ е = а және е ◦ а = а теңдіктері орындалатын е элементі табылады;
3) кез келген а элементі үшін а ◦ b = е және b ◦ a = е теңдіктері орындалатын b элементі табылады шарттары орындалғанда, сонда ғана G жиыны топ болады.
Осы үш шарт топтың аксиомалары деп аталады.
Егер топтың кез келген а, b элементтеріне а ◦ b = b ◦ а болса, онда ол коммутатив топ немесе Абель тобы деп аталады.
G тобындағы элементтердің саны топтың реті деп аталады және | G | деп белгіленеді. Топтағы элементтердің санына тәуелді сөз ақырлы немесе ақырсыз топ туралы сөз болады.
Сақиналар Анықтама. Сақина деп екі + (қосу) және (көбейту) операциялары берілген және келесі шарттар орындалатын K жиыны аталады:
1) кез келген a, b, c элементтері үшін (a + b) + c = a + (b + c) – ассоциативтік заң;
2) барлық a элементтеріне a + 0 = 0 + a = a болатын 0 элементі табылады – нөлдік элементтің табылатындығы;
3) кез келген a элементі үшін a + b = b + a = 0 болатын b элементі табылады – қарамақарсы элементтің табылатындығы;
4) кез келген a, b элеметтері үшін a + b = b + a – коммутативтік заң;
5) кез келген a, b, c элементтері үшін (a b) c = a (b c) – ассоциативтік заң;
6) кез келген a, b, c элементтері үшін a(b + c) = ab + ac және (b + c)a = ba + ca – көбейтудің қосуға қатысты дистрибутивтігі;
7) кез келген a элементі үшін a e = e a = a болатын e элементі табылады – бірлік элементтің табылатындығы шарт.
Осы 7 шарт сақинаның аксиомалары деп аталады. Алғашқы 4 шарт сақина қосу операциясына қатысты коммутатив топ болатынын көрсетеді.
