2 дәріс. Кездейсоқ оқиғалар. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Ықтималдықтарды тікелей есептеуге мысалдар
2. Қосу теоремасы
3. Қосудың кеңейтілген теоремасы
2 Ықтималдықтарды тікелей есептеуге мысалдар 1-мысал. Жәшікте 3 ақ шар, 5 қызыл шар, 2 жасыл шар бар. Бұл шарлардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар алынды. Алынған шар: а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б) жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Шарлардың үлкендігі мен салмағы бірдей болғандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей. Бір түсті шар шыққанда екінші түсті шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=10. А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m=3. Демек,
немесе 30% болады.
ә) немесе 50% болады.
б) немесе 20% болады.
2-мысал. Монета екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб жағы пайда болуы ықтималдығын анықтау керек.
Төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады. Олар: ГТ, ТГ, ГГ, ТТ.
немесе 75% болады.
3-мысал. Бірден екі ойын кубы лақтырылады. Екі куб еденге түскенде шыққан нөмірлерінің қосындысы 7 болуы ықтималдығы неге тең?
Шешуі: Барлық мүмкін жағдайларды есептейік. Бірінші куб жақтарының нөмірлері әр түрлі алты тәсілмен түсуі мүмкін. Бұлар әр жолы екінші кубтың алты нөмірінің бірімен комбинацияланады. Сонда n=6×6=36 болады. Қолайлы жағдайлар саны: 1+6=7, 2+5=7, 3+4=7, 4+3=7, 5+2=7, 6+1=7
m=6. .
Қосу теоремасы Ықтималдықтарды есептеу сынаудың жалпы саны мен оқиғаның пайда болуына қолайлы нәтижелер санын анықтауға келіп тіреледі. Бұларды тікелей есептеу көп жағдайда үлкен қиындыққа ұшыратады. Оның үстіне, практикада кездесетін оқиғалар күрделі болып келеді де, олардың ықтималдығын табу үшін, ол оқиғаларды бірнеше қарапайым оқиғалардың қосындысы не көбейтіндісі түрінді жазып, солардың ықтималдықтары арқылы күрделі оқиға ықтималдығын анықтайды. Ол үшін негізінен ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларын пайдаланады.
Қосу теоремасы. Үйлесімсіз А және В оқиғаларының қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтардың қосындысына тең, яғни
(1)
Д/уі: Теореманы дәлелдеу үшін (1) теңдіктегі үш ықтималдықты есептеп, ол мәндерді (1) теңдікке қойып, оның дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті.
