Мысал 1.3.1. Мынадай теңсіздікті шешу керек .
Бөлшек оң мән қабылдауы үшін оның алымы да, бөлімі де оң сандар болуы керек, немесе алымы да, бөлімі де теріс сандар болуы қажет. Осы тұжырымды ескеріп, екі жүйеден тұратын екі теңсіздіктердің мынадай бірігуін құрамыз:
Алдымен мына теңсіздіктер жүйесінің шешімдерін тауып алайық
Бірінші жүйенің шешімі х > 1 теңсіздігімен тең күштес болады.
Ал енді мындай теңсіздіктер жүйесін шешу керек:
Екінші жүйенің шешімі x < -1 теңсіздігімен тең күштес болады.
Бастапқы берілген теңсіздіктің шешімдерін (берілген теңсіздікті ақиқат сандық теңсіздікке айналдыратын айнымалының шешімдер жиынын) жалпы түрде төмендегі тәсілдердің бірімен көрсетуге болады:
Интервалдар әдісін екінші дәрежелі алгебралық теңсіздіктерді шешуге қолданайық. Әдетте оларды квадраттық теңсіздіктер деп атайды.
1
квадраттық теңсіздігін қарастырайық . «Толық квадратты бөліп шығару» тепе – тең түрлендіруін қолданып алатынымыз:
Сондықтан (1) теңсіздігі
(2)
теңсіздігіне пара – пар. болсын. Онда (12) теңсіздігі
(3)
теңсіздігіне пара – пар.
а) Егер болса, онда (3) теңсіздігінің сол жағындағы белгісіздің кез келген сандық мәнінде теріс емес саны мен оң санының қосындысы түрінде, яғни (3) теңсіздігі ақиқат сандық теңсіздікке айналады. Демек, (3) теңсіздігі кез келген үшін дұрыс. Басқа сөзбен айтқанда, бұл жағдайда (3) теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны барлық нақты сандар жиыны болады.
б) Егер болса, онда (3) теңсіздігі мәнінен басқа кез келген үшін ақиқат сандық теңсіздікке айналады. Демек, бұл жағдайда (3) теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны жиыны болады.
в) Егер болса, онда (3) теңсіздігі
(4)
теңсіздігіне пара – пар, мұнда , . екенін
айқын, сондықтан интервалдар әдісін қолданып, (4) теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны екенін аламыз.
болсын. Онда (2) теңсіздігі
(5)
теңсіздігіне пара – пар.
а) Егер болса, онда кез келген саны үшін бұл теңсіздің жалған теңсіздікке айналады, сондықтан (5) теңсіздігінің шешімдері жоқ болады.
б) Егер болса, онда тағы да (5) теңсіздігінің шешімдері жоқ болады.
в) Егер болса, онда (5) теңсіздігі
(6)
теңсіздігіне пара – пар, мұнда , . екенін айқын, сондықтан интервалдар әдісін қолданып, (6) теңсіздігінің барлық шешімдерінің жиыны интервалы екенін аламыз.
теңсіздігін шешуде дәл осылайша жүргізіледі. Жоғарыда келтірілген талқылауларды бір жерге жиямыз (1 - кесте). Бұл таблицаны есте ұстаудың қажеті жоқ, нақтылы берілген квадраттық теңсіздікті шешу үшін әр жолы жоғарыда келтірілген талқылауларды қараған жөн.
Мысал. теңсіздігін шешу керек. Квадраттық үшмүшелігінің түбірлері және болғандықтан, . Олай болса, теңсіздік теңсіздігіне пара – пар.
Соңғы теңсіздікке интервалдар әдісін қолданып, берілген теңсіздіктің барлық шешімдерінің жиыны интервалы екенін аламыз.
