ОҚУ Әдістемелік кешен атырау 2015 ж. Құрастырушылар: КаракеноваСаяхат
-24 дәрістер. Анықталмаған интеграл. Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері. Негізгі интегралдар таблицасы. Айнымалыны алмастыру. Бөліктеу әдісі
жүктеу/скачать 2,77 Mb.
|
УМК Матанализ
- Бұл бет үшін навигация:
- Анықталмаған интегралдың қасиеттері
- Интегралдар кестесі
17-24 дәрістер. Анықталмаған интеграл. Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері. Негізгі интегралдар таблицасы. Айнымалыны алмастыру. Бөліктеу әдісі. Дифференциалдау көмегімен функцияның өзгеру жылдамдығын табуға болады. Бұған кері есеп: функцияны, оның туындысы бойынша табу. F(x) функциясы үшін алғашқы функцияны табу бірмәнді болмайды. Шыныменен де, F1(x)=F(x)+C функциясы f(x) үшін де алғашқы функция болады, өйткені кез-келген тұрақты С үшін [F(x)+C]'=f(x) орындалады. Сонда мынадай сұрақ туады: алғашқы функциялар жиыны F(x)+C өрнегімен табыла ма? Анықтама. Егерде F(x) функциясы f(x) функциясының Х жиынында алғашқы функциясы болса, онда F(x)+C функциялар семействосы , мұндағы С кез-келген тұрақты, функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және былай белгіленеді:  .
F(x) функциясы – интеграл астындағы функция, f(x)dx – интеграл астындағы өрнек, х – интегралдау айнымалысы деп аталады. Берілген f(x) функциясы бойынша оның алғашқы функциясын табу интегралдау деп аталады. Мысалы: Геометриялық тұрғыдан алғанда F(x)+C Оу өсі бойынша параллель көшіруден алынған қисықтар семействосы. Анықталмаған интегралдың қасиеттері 1. Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең: 2. Кейбір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен тұрақшы шаманың қосындысына тең: 3. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады: 4. Бірнеше функцияның алгебралық қосындысының интегралы осы функциялардың интегралдарының қосындысына тең.
1. 2.  10. 
3. 4. 5. 6.  14. 
7. 8. 
Интеграл табуда төмендегі әдістер жиі пайдаланылады: 1.  , онда  , мұндағы a және b – кейбір тұрақтылар.
2. Дифференциал таңбасының астына енгізу:  Өйткені,  .
3. Бөліктеп интегралдау формуласы:  .
Әдетте dv өрнегі, оның интегралы оңай табылатындай етіп таңдалынады.Ал u арқылы дифференциалы ықшамды болатындай функция алынады. Бөліктеп интегралдауға болатын функция кластарына 1. Рационал бөлшектерді интегралдау, яғни екі  көпмүшелігінің қатынасы  элементар функцияларға жіктелінеді.
Әдетте қарапайым бөлшектердің төрт түрін қарастырады. 1. 2. мұнда n=2,3,….. 3. 
4. 
Оң жақтағы бірінші интеграл Айнымалыны алмастыру әдісімен интегралдау интгерлдаудың ең тиімді әдістерінің бірі. Оның мәні х-тен жаңа  айнымалысына көшуде. Кейбір жиі кездесетін функция кластарына бұндай стандартты алмастыруларды көрсетуге болады.
3. Тригонометриялық функцияларды интегралдау. 1. Универсал тригонометриялық алмастыру.  интегралын  алмастыруы арқылы рационал функция интегралына келтіруге болады.
Бұл алмастыру арқылы Интеграл астындағы функция sin x арқылы тақ функция болсын, яғни  .
Cos x=t деп алып, sin x –ті sin2x=1-cos2x формуласын пайдаланып, cos x арқылы өрнектейміз. Sin x –ті дифференциал таңбасы астына енгіземіз: sin xdx=-dcos x. Сонда, рационал функция интегралын аламыз. Сол сияқты, интеграл астындағы функция 3. Интеграл астындағы функция sin x және cos x арқылы жұп болсын, яғни R(-sin x,-cos x)= R(sinx,cos x). Бұл жағдайда tg x=t немесе ctg x=t алмастыруын жасау арқылы, интеграл астындағы функцияны рационал түрге келтіреміз. 4. Егерде m немесе n – тақ оң сандар болса, онда интеграл 2 жағдайға келеді. Егерде m+n жұп болса, онда 3 жағдайға келеді. Егерде m және n, екеуі де жұп оң сандар болса, онда дәрежені кеміту формуласы пайдаланылады. жүктеу/скачать 2,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
.
.
.
9. 
11. 
12. 
13. 
15. 
түріндегі 
,
алмастыруы арқылы оңай табылады, ал екінші интеграл: 
. Соңғы интегралды рекуррентті формула бойынша табуға болады.
түріндегі интегралды қарастырайық, мұндағы R – рационал функция. Қалған тригонометриялық функцияларды sin x және cos x арқылы рационал өрнектеуге болады.
түріндегі интегралды есептеу тиімді. Кейбір дербес жағдайларда басқа алмастыруларды пайдаланған жөн.
арқылы тақ болғанда, sin x=t алмастыруын жасаймыз.
түріндегі интегралды қарастырайық, мұндағы m және n – бүтін сандар.