Билет №8 Больцано- Вейерштрасс теоремасы. Больцано-Вейерштрасс теоремасы. Əрбір шектелген жəне элементтерінің «саны» шексіз Е жиынының ең болмаған күнде бір шектік нүктесі болады.
Е шектелген жиын болғандықтан, оны құрушы сандар бір [а, в] сегментінің ішінде жатуға тиіс. Осы [а, в] сегментті қақ бөлейік. Онда сегменттің екі жартысының біреуінде Е жиынының шексіз көп элементтері болуы мүмкін, бұл сегментті [a1,b1] арқылы белгілейік. Егер екеуінде де Е жиынының шексіз көп нүктесі болса, онда [a1,b1] сегменті үшін қай жартысын алсақ та бəрібір болады. Енді [a1,b1] сегментін қақ бөлейік. Онда жаңағыдай бұл сегменттің екі жартысының біреуінің ішінде Е жиынының шексіз көп элементтері болуы мүмкін, Е жиынының шексіз көп элементтері жатқан жартыны [а2, в2] арқылы белгілейік: Міне, осы операцияны шексіздікке дейін созсақ, онда бірінің ішінде бірі жатқан келесі сегменттер
тізбегі келіп шығады. Бұл сегменттердің ұзындықтары шексіздікке ұмтылады жəне олардың əрқайсының ішінде Е жиынының шексіз көп элементтері бар. Кантор аксиомасы бойынша осы сегменттердің барлығына ортақ, яғни бір шек, бір ғана ξ нүктесі болады. Енді осы ξ нүктесі Е жиынының шектік нүктесі болатындығын дəлелдейік. Интервал осы ξ нүктесінің аймағы болсын. Егер п саны тым үлкен болса, онда сегменттері интервалдың ішінде жатады, Ал сегменттердің ішінде жатқан Е жиыны нүктелерінің (элементтерінің) «саны» шексіз, демек, аймақтың ішінде Е жиынының шексіз көп нүктелері (элементтері) бар. Олай болса анықтама бойынша ξ нүктесі Е жиыны үшін шектік нүкте болады. Теорема дəлелденді. Шектік нүкте болу үшін жиынның шектелуі жеткілікті шарт болып табылады да, бірақ қажетті шарт бола алмайды. Мəселен, жиын Е мына сандардан
тұрсын. Бұл жиын шектелген жиын емес. Дегенмен шектік нүктесі бар, ξ=0. Е жиыны барлық рационал сандардан тұратын болса, онда Е шектелген жиын болмайды. Бірақ дегенмен түзудің əрбір нүктесі осы жиын үшін шектік нүкте болады.
