Ескерту. Тізбек Е жиынында жинақталады дегеніміз – осы Е жиынының
әр нүктесінде тізбектің жинақты болуы екенін еске алайық.
3-теорема (Д.Ф.Егоров, 1911). Егер өлшемі арқылы Е (𝝁Е < ∞)жиынында өлшемді функциялардың тізбегі барлық жерде дерлікақырлы мәнге жинақталатын болса, онда әрбір 𝜹>𝟎 үшін ⸦Е және𝝁(𝑬\ ) <𝜹 шарттарына сай, және осы жиында тізбек бірқалыптыжинақталатындай кемел жиын табылады.
Дәлелдеуі. 2-теоремада қарастырылған жиынының өлшемі, 𝑛 → ∞ кезде, кез келген 𝜀> 0 үшін, нөлге ұмтылатынысол теореманың дәлелдеуінен белгілі. > 0 және → 0 шарттарына сай сандарының тізбегін алайық. Әрбір тыянақты үшін 𝑛 → ∞ кезде,𝜇 ( ) → 0. Сондықтан әрбір 𝑚∈𝑁 үшін
𝜇 ( ) < (4)
Теңсіздігі орындалатын -ге тәуелді 𝑛(𝑚) номері табылады.
Кез келген 𝛿> 0 үшін р=p(𝛿) нөмірін 𝛿 шартыменанықтайық. (Жинақты қатардың қалдығы р → ∞ кезде нөлге ұмтылады).Осыдан кейін Е(𝛿) жиынын
Е(𝛿) = ( )теңдігімен анықтайық.Енді = 𝐸/𝐸(𝛿) болсын. Сонда (𝑥) тізбегінің бірқалыптыжинақталатынын дәлелдейік.
Кезкелген 𝜀> 0 бойынша q=q(𝜀) санын, әрбір m≥ 𝑞нөмерлері үшін <𝜀 теңсіздігі орындалатындай етіп, анықтайық. Сонда, егер Х ∈ болса,онда
х ∉𝐸(𝛿)= демек, 𝑚>𝑝 болса, х ∉𝐸(𝛿)=
онда барлық к≥ 𝑛(𝑚) үшін | (𝑥) − 𝑓(𝑥)| < теңсіздігі орындалады. Сонымен, егер
m≥ max (𝑝, 𝑞) болса онда барлық к≥𝑛(𝑚) номерлері үшін (𝑥) − 𝑓(𝑥)| <𝜀 теңсіздігі жиынында орындалады.Демек, (𝑥) тізбегі жиынында бірқалыпты жинақталады.
Теоремада айтылған тұжырымды толық дәлелдеу үшін жиынынкемел жиынға ауыстыру қажет. 11-пунктегі 4-теорема бойынша F⸦ және𝜇( \𝐹) <𝛿 шарттарына сәйкес тұйық жиын F табылады. Осы жиынныңоңаша нүктелерін алып тастаса, кемел Р жиыны қалады. Оңаша нүктелержиынының өлшемі нөлге тең, демек, 𝜇(𝑃) = 𝜇(𝐹). Осымен бірге 𝜇(E) - 𝜇(𝑃) =𝜇( \𝐹) <𝛿, сондықтан
𝜇( \Р) = 𝜇( ) − 𝜇(𝑃) = 𝜇( ) − 𝜇(𝐹) <𝜇(𝐸) + 𝛿 − 𝜇(𝑃) < 2𝛿.
Теорема толық дәлелденді.
