2. Өлшем бойыншажинақталу.
функциялар тізбегі (𝐱) және тағы бір f(x) функциясы берілген болсын.
Егер кез келген ɛ>0 үшін = 𝟎 болса, онда (𝐱) тізбегі
f(x) функциясына өлшем бойынша жинақталады дейміз.
1-теорема (Лебег). Егер (𝐱) тізбегі f(x) функциясына Е жиынының
барлық жерінде дерлік жинақталатын болса, онда (𝐱) тізбегі f(x)
функциясына өлшем бойынша да жинақталады.
Ескерту. Кері тұжырым дұрыс болмайды. Егер функциялар тізбегі
қайсыбір жиында өлшем бойынша жинақталса да, бұл тізбек осы жиында
барлық жерде дерлік жинақталады деген тұжырым дұрыс болмауы мүмкін.
2-теорема (Ф.Рисс). Егер өлшемді және барлық жерде дерлік ақырлы
функцияларының тізбегі (𝐱) өлшем бойынша f(x) функциясынажинақталатын болса, онда осы тізбектің f(x) функциясына барлықжерде дерлік жинақталатын іштізбегі бар болады.
Дәлелдеуі. 0 <𝜀к → 0 сандар тізбегі болсын. Теореманың шарты бойыншаәрбір К ∈𝑁 үшін 𝜇Е(| (x)-f(x)≥ ) <1/ теңсіздігі орындалатындай к-ғатәуелді нөмірі табылады. Бұл нөмірі қашан да > болатындай етіпалуға болады. Осы іштізбегінің барлық жерге дерлік жинақты екеніндәлелдейік. Сол үшін
және жиындарын қарастырайық.
𝐵𝑚 −тарылмалы тізбек екені айқын, сондықтан
𝜇𝐵 = (2)
Екінші жағынан, 𝑚 → ∞ болса, онда (өлшемнің монотондық қасиетібойынша)
𝜇 (3)
(жинақты қатардың қалдығы), ал (2) мен (3), 𝜇𝐵 = 0 екенінің дәлелі. Енді Е/Вжиынында бұл іштізбек әр нүктеде жинақты екенін айқындайық: х ∈ Е/Вболсын, онда х ∉ В, сондықтан қайсыбір нөмір s үшін х ∉ В𝑠 болмақ. Ал –тарылмалы тізбек болғандықтан нөмерлері s – тен үлкен жиындарыныңешқайсысында да х нүктесі болмайды, яғни егер 𝑘 ≥ 𝑠 болса, онда х ∉ Е(| -f|≥ ). Сондықтан барлық 𝑘 ≥ 𝑠нөмерлері үшін кері теңсіздіру | (x)– f(x)|< орындалады. Ал → 0, сондықтан іштізбегі Е/В жиынында,яғни Е жиынының барлық жерінде дерлік 𝑓 функциясына жинақталады.Теорема дәлелденді.
