Тұйық жиындеп атайды,егер өзінің барлық шектік нүктелерінен тұрса.Ал бұл жерден Шектік нүкте дегенге анықтама берсек:
Ал жиынның шектік нүктелер жиыны-туынды жиынды береді.
1-теорема.Бос емес,шектелген,тұйық F жиыны сегмент болады немесе осы сегменттен ақырлы немесе саналымды өзара беттеспейтін,шеткі нүктелері осы жиынды жатпайтын интервалдарды алып тастағанға тең болады.
2-теорема. F-бос емес,шектелген,тұйық. S= F жиыны жататын ең кіші сегмент болсын, онда:
Құраушы интервалдары-ң шеткі нүктесі болатын нүктесі F жиыны-ң оқшауланған нүктесі деп аталады.
a немесе b нүктесі F-тің толықтырушы интервалдары-ң шеткі нүктелері болса,онда F-тің оқшауланған нүктесі болады.
3-теорема.Тұйық жиынның ақырлы қосындысы тұйық жиын.
4-теорема.Тұйық жиындардың кез келген қиылысуы тұйық жиын болады.
Өлшемді функциялардың қарапайым қасиеттері.
Билет №10 Ішкі нүктелер және ашық жиындар.
Анықтама 1. х0нүктесі f жиынының ішкі нүктесі д.а. егер осы нүктеде жататын интервалы табылып, ол толығымен А жиынында жатса.
Анықтама 2. Егер А жиынының барлық нүктелері ішкі нүктелер болса, онда
мұндай жиын ашық жиын деп аталады.
Анықтама бойынша, егер А ашық жиын болса, x0 – осы жиынның
қайсыбір элементі болса, онда барлық нүктелері осы А диынында жатқан және
радиусы δ>0 болатын 0δ(x0) маңайы табылады. Мысалы, кезкелген интервал –
ашық жиын: айталық, акішісін с әріпімен белгілейік. Ерекше бір жеке жағдай, ашық жиын екеніне
көңіл аударған жөн. Енді ашық жиындардың кейбір қасиеттеріне тоқталайық.
1- Теорема.Ашық жиындардың ақырлы қиылысуы және олардың
кезкелген (ақырлы не ақырсыз) бірігуі ашық жиын болады.
Дәлелдеуі. А1, А2, .... Ак... жиындарының әрқайсысы ашық жиын
болсын. Қиылысуда жатқан х нүктесі қиылысқан жиындардың қайсысына да
енеді. Осыған ұқсас, х нүктесінің А2, ... ,Ак жиындарына енетін радиусы
δ2,..., δк маңайлары табылады.
Енді осы ашық жиындардың кезкелген біріктіруін қарастырайық.
В=A1∪ A2∪ …. Ak∪… болсын. Осы біріктіруде жатқан х∈ В кез келген нүкте
біріктірілген жиындардың ең болмағанда бірінде жатуға тиіс. Олай болса, бұл
маңай В жиынына да тұтасымен енеді, яғни В жиыны ашық жиын болғаны.
Теорема дәлелденді.
