Саналымсыз жиын және оның қуаты. Саналымсыз жиын Континуум с қуатты жиын. Саналымсыз жиын

- Теорема. R1 кеңістігіндегі әрбір ашық жиын С қиылыспайтын интервалдардың ақырлы, не саналымды бірігуінен тұрады. Дәлелдеуі

жүктеу/скачать 448,21 Kb. бет 7/7 Дата 19.12.2022 өлшемі 448,21 Kb. #163380

Бұл бет үшін навигация:

• 2. Борель теоремасы

2- Теорема. R1 кеңістігіндегі әрбір ашық жиын С қиылыспайтын интервалдардың ақырлы, не саналымды бірігуінен тұрады. Дәлелдеуі. Кезкелген х∈С нүктесін алайық. С ашық жиын болғандықтан бұл нүктені қамтитын қайсыбір интервал 0δ осы жиынға енеді. Супремумның анықтамасы бойынша, А жиынының 𝛼 санынан үлкен элементі жоқ, олай болса (𝛼, х) ∈ С. Дәл осылай, В әріпімен х-тен үлкен, С жиынына енбейтін сандар жиынын белгілеп, β=inf В санын анықтаймыз. Сонымен, кезкелген х∈С нүктесі, ол х-ті қамтитын ең үлкен интервал екендігі, ал осы интервалдың шеткі нүктелері С жиынына жатпайтыны дәлелденді. Осындай интервалды ашық жиынның құрастырушы интервалы деп атайды. С жиыны осы интервалдардың С жиыны осы интервалдардың бірігуінен тұрғаны белгілі. Ақырында, (𝛼, β) және (𝛼1, β1) интервалдары С жиынын құрастырушы екі интервал болса, онда бұлар қиылыспайды: егер бұл екеуіне ортақ х нүктесі бар десек, онда (𝛼, β) х-ті қамтитын интервалдардың ең үлкені болғандықтан (𝛼, β)= (𝛼1, β1). Сан түзуінде жатқан қиылыспайтын интервалдар саны ақырлы, немесе, көп дегенде, саналымды жиын құрайды. Теорема дәлелденді. Ашық жиынға мысал: Кез келген (a, b) интервалы ашық жиын; z – нақты сандар жиыны; (бос жиын) – ашық жиын; [a, b] тұйық жиын. 2. Борель теоремасы. f(x) функциясы [a,b] кесіндіде өлшемді және барлық жерде дерлік арқырлы болсын. Сонда әрбір және үшін осы кесіндіде үздіксіз және (|f – g| шартына сәйкес g(x) функциясы табылады. Егер |f| , болса онда |g| , яғни функциясыда сол константамен шенелген деп есептеуге болады. Дәлелдеуі. Алдымен |f| жағдайын қарастырайық. Тыянақты санын алайық та, санын болатын етіп таңдайық та, [-K,K] кесіндісін 2m бөлікке (i = -m+1, -m+2, … , m-1) Нүктелерімен бөлейік. Енді мына жиындарды анықтайық: i = -m+1, … , m-1 Және i = m үшін Бұл жиындары өлшемді, қос-қостан қиылыспайтын және олар Егоров теоремасында кездескен жағдайда ұқсас, мұнда да әрбір жиыны үшін, теңсіздігі орындалатындай кемел ⸦ ішжиыны табылды. Ал болатындықтан, жиындар айырымы Сондықтан бұл айырымның өлшемі ( (1) Осы кемел Р = жиынында g(x) функциясын әрбір нүктесінде g(x) = (i-1)K/m теңдігімен анықтайық , сонда бұл функция жиындарына іргелес интервалдардың шеткі нүктелерінде де анықталады. Іргелес интервалдардың ішкі нүктелерінде g(x) функциясын әр интервалдың шеткі нүктелерінде анықталған мәндерін үзіліссіз жалғайтын сызықтық функция түрінде анықтаймыз. Енді g(x) функциясы кесіндінің барлық нүктелерінде анықталған үзіліссіз функция. Әрбір жиынында g(x) = Осы теңсіздіктердің әр мүшесінен g(x)-ті алып, мына теңсіздіктерге келеміз: , яғни кемел Р жиынында, |f – g| шарты орындалады. Сондықтан, кері теңсіздік тек СР толықтауыш жиынында орындалуы мүмкін. Оның өлшегі (1) бойынша -нен кем. Егер фукция Е жиынында шенелмеген, бірақ барлық жерде дерлік ақырлы болса, онда кез келген үшін f – К) болатындай К = K( ) саны табылады. Енді [a,b] кесіндісін екі жиынның бірігуі түрінде келтіреміз: [a,b] мұндағы ) жиыны дәлелденген жағдайға сәйкес, ал ) жиынының өлшемі -нен кем. Дәлелденген жағдай бойынша кемел Р (Р⸦ ) жиынының өлшемі жиынының өлшемінен айырмасы -нен кем және бұл жиында |f(x) – g(x)| . Ал |f(x) – g(x)| болатын нүктелер жиыны ( СР жиынына енеді, ал мұның өлшемі 2 -нен кем. Теорема дәлелденді. дың бірігуі [a,b] кесіндісіне тең жиындар. жүктеу/скачать 448,21 Kb. Достарыңызбен бөлісу: