Векторлық алгебра негізгі түсініктер
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Pdf көрінісі
|
Лекции по курсу ОВТА каз
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.1. Қисық сызықты координаталар
- 2.2. Дифференциалды векторлық операторлар
КООРДИНАТА ЖҮЙЕЛЕРІ
Бірінші тарауда біз тек декарттық координаталар жүйесінде ғана жұмыс істедік. Онда k j i , , бірлік тұрақты векторларын пайдаландық. r радиус вектор ұғымын енгіздік. Алайда барлық физика есептері Д.К.Ж- де оңай есептеле бермейді. Орталық
0 күш өрісінде (гравитациялық немесе электростатикалық) декарттық координаталар жүйелері (Д.К.Ж.) есепті қиындатып жібереді. Сондықтан бір координаты радиал бағытта болатын координаталар жүйесін пайдаланған жөн.
симметриялылығына байланысты таңдау қажет. Координата жүйесін дұрыс таңдай алсаң, онда есептің шешімін де жеңілірек табуға болады. Себебі, жаңа координата жүйелерінде дербес дифференциал туындылар теңдеуінен айнымалыларды ажырату (бөлу) әдістерімен 1-ші ретті дифференциал теңдеулерге келтіруге болады.
Алдымен мына теңдеуде айнымалыларды ажырату әдісін қолдануға болатын координат жүйелерін қарастырайық:
0 2 2
. (2.1) Бір қарағанда бұл теңдеудің үлкен мағынасының бар екенін байқау қиын.
1) 0 2 k болсын. Онда (2.1) теңдеуі Лаплас теңдеуі болып шығады .
47
2)
const k 2 Гельмгольц теңдеуі.
3) const k 2 – диффузия теңдеуінің кеңістіктік бөлігі. 4)
k 2 кинетикалық энергия – Шредингер теңдеуі. 2.1. Қисық сызықты координаталар
Декарт координаттары үш өзара перпендикуляр жазықтықтардан құралады: х=const, y=const, z=const. Енді осы координаталар жүйесіне басқа үш беттерден құралатын координаталар жүйесін әкеліп қоялық. Жаңа координат жүйесінің беттері бір-біріне параллель емес және олар жазықтықтарда емес. Жалпы
жағдайда олар
өзара перпендикуляр да емес. Алайда бізге қолайлы болу үшін бұл шарттар орындалмайды (яғни өзара перпендикуляр) деп қарастырайық. Кез келген мәні (x,y,z) декарт координат жүйесінде үш жазықтықтың қиылысы деп қарастырамыз немесе жаңа координата жүйесінде үш беттің қиылысы болады. Қисық сызықты координаталарды
q const q const q 3 2 1 , ,
деп алып, мәннің координаталарын 3 2 1 , , q q q деп жазуға болады. Демек,
3 2 1 3 2 1 3 2 1 , , , , , , ,
q q z z q q q y y q q q x x (2.2)
деп, яғни жаңа координаталар жүйесі арқылы өрнектеуге болады және керісінше:
48
z y x q q z y x q q z y x q q , , , , , , . , 3 3 2 2 1 1 . (2.3)
Әр const q i -қа сәйкес бірлік i a векторын осы бетке нормаль етіп және
-дің бағытымен бағыттас енгізейік.
Арақашықтықтың квадраты:
2 2
2 2
i j ij ds dx dy dz h dq dq (2.4)
формуласымен анықталады. Мұндағы
ij h
– Ламе коэффициенттері деп аталады, оларды жаңа
3 2 1 , ,
q q координата жүйелерін сипаттайтын параметрлер деп қарастыруға болады. Ламе коэффициентінің жиынтығы координата жүйесінің метрикасын анықтайды.
2
h -ды табу үшін (2.2) теңдеулерін дифференциалдайық:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , ; x x x dx dq dq dq q q q y y y dy dq dq dq q q q z z z dz dq dq dq q q q (2.5)
2 , i j ij i j x x dx dq dq q q
49
2 2 , .
j ij i j i j i j y y dy dq dq q q z z dz dq dq q q Енді осы өрнектерді (2.4) теңдеуіне қоялық:
2 2 , . i j ij i j i j i j ij i j i j i j x x y y z z ds dq dq q q q q q q x x y y z z h q q q q q q
(2.6) Жоғарыда айтып өткендей, беттер өзара перпендикуляр болса, яғни олар ортогональды жүйелер. Математика тілінде бұл
0,
(2.7) деп жазылады. Қысқаша i ii h h деп жазсақ, онда
2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 dq h dq h dq h ds . (2.8)
Әр
жаңа координат жүйесін қарастырғанда Ламе коэффициенттерін тауып (есептеп) отырамыз. Керісінше, кез келген берілген i dq үшін, басқа q-лар тұрақты деп, осы шамаларды
i i i dq h ds
(2.9) деп
анықтаған ыңғайлы. 3 2
, ,
q q
қисық сызықты координаталардың өлшем бірліктері жоқ (безразмерные). Ал 50
Ламе коэффициентінің өлшем бірліктері болуы мүмкін, i i dq h - көбейтіндісінің өлшем бірлігі ұзындық болуы мүмкін, (2.9) өрнегінен бет элементі және көлем элементін табамыз:
j i j i j i ij dq dq h h ds ds d , (2.10)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 d ds ds ds h h h dq dq dq . (2.11)
(2.10) және (2.11) теңдеулері (2.2) түрлендіру заңына сәйкес орындалады.
Функцияның градиенті деп осы функцияның кеңістікте ең жылдам өзгеру бағыты мен оның абсолют шамасын айтқанбыз (1.6 бөлім). Онда ) ,
( 3 2 1 q q q векторының const q 1 беттеріне нормаль болатын бағыты (20-сурет)
20-сурет
51
1 1
1 S h dq (2.12)
болады ( 2 q және
3 q – тұрақты). 1
өсімшесі – 1
бағытындағы ұзындық өсімшесі 2.1-бөлімінде бірлік 1
векторын енгіздік. Басқа компоненттер үшін де ұқсастық іздеп, градиентті мына түрде жазуға болады:
1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( , , ) . q q q a a a S S S a a a h q h q h q (2.13)
Дивергенция өрнегін (1.91) теңдеуін пайдаланып (не Гаусс теоремасын) табуға болады:
1 2 3 0 ( ,
, ) lim , d Vd V q q q d (2.14) мұндағы көлем
элементі 3 2 1 3 2 1 dq dq dq h h h -ке
тең. 3 2 1 q q q немесе
3 2 1 , ,
a a оң бағыттары оң жүйесін құрайды. 1.7 және
1.20 бөлімдеріндегіден 1 1
q және 2 1 1 ) (
dq q беттері бойынша
интеграл:
52
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 1 2 3 1 2 3 1
V h h dq dq dq V h h dq dq q V h h dq dq dq q (2.15)
-ке тең болады. Мұнда да бірінші реттік дифференциалмен шектелдік. Себебі, 0 3 2 1 dq dq dq шегін қарастырғанда:
2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 2 1 2 3
2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 1 1 ... ... V h h V h h dq V h h dq dq dq q q V h h dq dq V h h V h h dq dq dq dq q q
көлем элементіне бөліп, шекке көшкенде екінші және одан үлкен реттік дифференциалдарды
1 1 n dq көбейткіштері нөлге ұмтылдырады.
Басқа екі жұпқа да ұқсастықты қолданып, табатынымыз 1 2 3 1 2 3 2 1 3
3 1 2 1 2 3 1 2 3 , , . V q q q d V h h V h h V h h dq dq dq q q q
(2.16)
Көлем элементіне бөлгеннен соң: 53
1 2 3 1 2 3 2 1 3
3 1 2 1 2 3
1 2 3 , , 1 . V q q q V h h V h h V h h h h h q q q
(2.17)
Мұндағы
V V i векторының i а бағытына проекциясы, яғни V a V i i Лапласианды (2.13) және (2.17) теңдеулерінің комбинациясынан табамыз:
1 1 1 3 1 1 2 3 1 2 3
2 2 2 1 2 3 3 3 1 , , h h q h q h h q q q h h h q h q h h q h q . (2.18а)
Стокс теоремасын пайдаланып,
векторын айқын түрде жазып, беттің ауданын нөлге ұмтылдырамыз. const q 1 қисық сызықты бет үстіндегі дифференциалдың элементін қарасты- рамыз.
1 2 3
2 3
Vd V h h dq dq . (2.18б) Стокс теоремасы бойынша,
1 2 3
2 3
h h dq dq V d . (2.19)
54
Сызықтық интеграл const q 1 бетінде жатқан контур бойынша есептеледі.
1 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 2
2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 2 3 ( ,
, ) . V q q q d V h dq V h V h dq dq q V h V h dq dq V h dq q h V h V dq dq q q (2.20) 1 және 2 жол бөлігінде оң таңбасы, 3 және 4 жол бөлігінде теріс таңбасымен алынған (21-сурет). Себебі 3 және 4 жол бөлігінде теріс бағытта жүріп отырамыз.
21-сурет
55
1 3 3 2 2 2 3 2 3 1 V h V h V h h q q . (2.21) Басқа 2 компоненттер үшін сол сияқты
3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 1 V h V h V h q q q h a h a h a h h h V . (2.22)
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|