Вопрос № 1. Первообразная заданной функции и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла.
Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого Х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции
Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
, где k – произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Достарыңызбен бөлісу: |
