Вопрос№ 10. Свойства определённого интеграла

Вопрос№ 10. Свойства определённого интеграла.

1. 
   Если .
   
2. 
   Если .
   
3. 
   Интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть
   

4. 
   . В частном случае .
   
5. 
   .
   
6. 
   .
   

Данное свойство используется и для интегрирования функций, терпящих разрыв I рода на .

7. 
   Если , то .
   
8. 
   Дан , , , . Неравенство можно почленно интегрировать, знак неравенства не изменяется.
   
9. 
   Пусть наименьшее и наибольшее значения на  , .
   

С точки зрения геометрии площадь криволинейной трапеции меньше площади прямоугольника с основанием и высотой и больше площади прямоугольника с тем же основанием и высотой .

1. 
   Определенный интеграл есть число, равное пределу интегральной суммы, составленной для на .
   
2. 
   Геометрический смысл – площадь криволинейной трапеции, если .
   
3. 
   Определенный интеграл существует, если непрерывная функция на .
   

Вопрос № 11. Определённый интеграл с переменным верхним пределом.

В определении интеграла предполагалось, что пределы интегрирования a и b – постоянные. При изменении пределов интегрирования определенный интеграл будет изменять своё значение. Очевидно, интеграл в этом случае есть функция своих пределов. Если зафиксировать нижний предел и изменять только верхний, то определенный интеграл будет функцией верхнего предела. Обозначим верхний предел через , а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, через (ясно, что значение интеграла от этого не изменится).

Интеграл вида называется интегралом с переменным верхним пределом. Этот интеграл есть функция от , то есть:


Если , то выражает переменную площадь криволинейной трапеции с основанием (рис.2).

Рис. 2
Имеет место теорема: Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом

◄ Проведем доказательство, исходя из геометрических соображений. По определению производной имеем

Для нахождения производной функции придадим приращение . Тогда функция получит приращение (см. рис.2) и , где – непрерывна на .
Будем иметь

Так как – первообразная для . Значит – первообразная для подынтегральной функции .►
Доказанная теорема является одновременно теоремой о существовании первообразной: всякая непрерывная функция имеет первообразные, одной из которых является интеграл.

жүктеу/скачать 13,56 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: