П р и м е р ы: 1. ; 2. .
Рассмотрим теперь определенный интеграл с переменным нижним пределом.
.
Можно ли дифференцировать определенный интеграл по переменному нижнему пределу? Если можно, то, чему равна производная? Имеем .
Для доказательства достаточно поменять пределы интегрирования и использовать доказанную теорему. Таким образом, производную определенного интеграла по переменному нижнему пределу отдельно не рассматривают.
Доказанная теорема является одной из основных в математическом анализе, так как показывает связь между операциями дифференцирования и интегрирования и может служить иллюстрацией закона диалектики и связи явлений в природе.
Эта же теорема позволит получить формулу Ньютона-Лейбница, с помощью которой вычисляется определенный интеграл.
Вопрос № 12. Теорема Ньютона-Лейбница.
Пусть – непрерывная функция на данном отрезке , одна из первообразных для данной функции.
Имеет место формула Ньютона-Лейбница:
.
Доказательство:
Определенный интеграл равен приращению первообразной для подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
◄По условию первообразная для . Функция так же первообразная для . Так как первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянную, то можно записать:
(*)
.
Подставим в (*) ,
.
Имеем .
Подставим в (*) ,
,
По свойству определенного интеграла
Окончательно, ►
Обозначим (знак двойной подстановки). Применяя этот символ, мы можем записать формулу Ньютона-Лейбница в таком виде:
.
Формула устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами. Формальная разница между ними: определенный интеграл – число, неопределенный интеграл – множество функций.
Имеем:
.
.
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первообразную (неопределенный интеграл) для , а затем найти разность значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Достарыңызбен бөлісу: |
