Вопрос № 16. Длина дуги в прямоугольных и полярных координатах.
Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.
Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b
Возьмём на дуге AB точки A, M1, M2, ..., Mi, ..., B с абсциссами x0 = a, x1, x2, ..., xi, ..., b = xn и проведём хорды AM1, M1M2, ..., Mn-1B, длины которых обозначим соответственно через Δs1, Δs2, ..., Δsn. Тогда получим ломаную AM1M2 ... Mn-1B, вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна
.
Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:
.
Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
Пример . Найти длину окружности .
Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:
,
откуда находим производную функции:
Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:
Ответ: длина всей окружности равна .
Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:
. (2)
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:
В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле
(3).
Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
если .
Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если :
Вычислим производные функций x и y:
Используем формулу (3):
Производим подстановку:
Окончательно находим:
.
Ответ: длина дуги кривой равна 26.
Если параметрическими уравнениями
задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:
. (4)
Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Вычислим производные функций x, y и z:
Используем формулу (4):
Достарыңызбен бөлісу: |
