Сложение вещественных чисел обладает следующими свойст- вами:
(С1) a+ b= b+ a(коммутативность);
(С2) (a+ b) + c= a+ (b+ c) (ассоциативность); (С3) a+ 0 = a;
(С4) a+ (−a) = 0.
Из этих свойств чисто логическим путем могут быть получены
и другие свойства, например, наличие операции вычитания, обрат- ной к сложению. Это означает, что для любых a, bуравнение
x+ a= b имеет единственное решение. Докажем, что это так. Если c–– реше- ние данного уравнения, т. е. c+ a= b, то
(c+ a) + (−a) = b+ (−a). Пользуясь свойствами (С2)––(С4), получаем
(c+ a) + (−a) = c+ (a+ (−a)) = c+ 0 = c.
Таким образом,
c= b+ (−a).
Это показывает, что если решение существует, то оно единственно и равно b + (−a). С другой стороны, подстановка x = b + (−a) в рас- сматриваемое уравнение показывает, что b + (−a) действительно является решением:
(b+ (−a)) + a= b+ ((−a) + a) = b+ (a+ (−a)) = b+ 0 = b.
Умножение вещественных чисел обладает аналогичными свойст- вами:
(У1) ab= ba(коммутативность);
(У2) (ab)c = a(bc) (ассоциативность); (У3) a1 = a;
(У4) aa−1 = 1 при a/= 0.
Свойства (У1)––(У4) лишь формой записи отличаются от свойств
(С1)––(С4), с единственной оговоркой, что в (У4) мы предполагаем, что a/= 0, в то время как в (С4) никаких ограничений на a нет. Поэтому приведенный выше вывод из свойств (С1)––(С4) наличия операции вычитания, будучи переведен на язык умножения, даст вывод из свойств (У1)––(У4) наличия операции деления, обратной к умножению. Более точно, таким путем доказывается, что для лю- бого a/= 0 и любого b уравнение xa= b имеет единственное реше-
ние, равное ba−1.
Все эти рассуждения приведены здесь не для того, чтобы чита-
тель узнал что-либо новое о вещественных числах, а чтобы подвести его к важной для алгебры идее. Эта идея есть аксиоматический ме- тод в алгебре. Он состоит в одновременном изучении целых классов алгебраических структур, выделяемых теми или иными аксиомами, представляющими собой какие-то свойства операций в этих струк- турах. При этом совершенно не важно, как в каждом конкретном случае эти операции определяются. Коль скоро выполнены аксио- мы, справедлива и любая теорема, полученная логическим путем из этих аксиом.
Конечно, лишь немногие системы аксиом действительно инте- ресны. Невозможно придумать «из головы» такую систему аксиом, которая привела бы к содержательной теории. Все системы акси- ом, рассматриваемые в современной алгебре, имеют длительную историю и являются результатом анализа алгебраических структур, возникших естественным путем. Таковы системы аксиом группы, кольца, поля, векторного пространства и другие, с которыми чита- тель познакомится в этом курсе.
Свойства (С1)––(С4), а также (У1)––(У4) являются по сути дела системой аксиом абелевой группы. Перед тем как привести точные формулировки этих аксиом, скажем несколько слов о терминоло- гии. Названия и обозначения операций в алгебраических структу- рах не имеют принципиального значения, однако чаще всего они называются сложением или умножением и обозначаются соответ- ствующим образом. Это позволяет использовать разработанную тер- минологию и систему обозначений, относящиеся к операциям над вещественными числами, а также вызывает полезные ассоциации.
Приведем вначале определение абелевой группы, использующее язык сложения.
