Определение 1. (Аддитивной) абелевой группой называют мно- жество A с операцией сложения, обладающей следующими свойст- вами:
a+ b= b+ aдля любых a, b∈ A(коммутативность);
(a + b) + c = a + (b + c) для любых a, b, c ∈ A(ассоциатив-ность);
в A существует такой элемент 0 (нуль), что a + 0 = a для любо- го a∈ A;
для любого элемента a∈ Aсуществует такой элемент −a∈ A (противоположный элемент), что a+ (−a) = 0.
Выведем некоторые простейшие следствия из этих аксиом.
Нуль единствен. В самом деле, пусть 01 и 02 –– два нуля. Тогда
01= 01+ 02= 02.
Противоположный элемент единствен. В самом деле, пусть
(−a)1 и (−a)2 –– два элемента, противоположных a. Тогда
(−a)1= (−a)1+ (a+ (−a)2) = ((−a)1+ a) + (−a)2= (−a)2.
Для любых a, b уравнение x + a = b имеет единственное реше- ние, равное b + (−a). Доказательство см. выше. Это решение назы- вается разностьюэлементов bи aи обозначается b− a.
Из свойства ассоциативности нетрудно вывести (попробуйте сде- лать это), что сумма произвольного числа (а не только трех) эле- ментов не зависит от расстановки скобок. Пользуясь этим, скобки обычно вообще опускают.
Пример 1.Числовые множества 6, Q, R являются абелевыми группами относительно обычной операции сложения.
Пример 2. Множество векторов (плоскости или пространства) является абелевой группой относительно обычного сложения векто- ров.
Пример 3. Последовательность из n чисел назовем строкой дли- ны n. Множество всех строк длины n, составленных из веществен- ных чисел, обозначим через Rn. Определим сложение строк по пра- вилу
(a1, a2, …, an) + (b1, b2, …, bn) = (a1+ b1, a2+ b2, …, an+ bn).
Очевидно, что множество Rnявляется абелевой группой относитель- но этой операции. Ее нулем служит нулеваястрока 0 = (0, 0, …, 0).
Пример 4. Множество всех функций, определенных на задан- ном подмножестве числовой прямой, является абелевой группой относительно обычного сложения функций.
Приведем теперь определение абелевой группы, использующее язык умножения.
Определение 1′. (Мультипликативной) абелевой группой назы- вают множество A с операцией умножения, обладающей следующи- ми свойствами:
ab= baдля любых a, b∈ A(коммутативность);
∈
(ab)c = a(bc) для любых a, b, c A (ассоциативность);
в Aсуществует такой элемент e(единица), что ae = a для лю- бого a∈ A;
для любого элемента a∈ Aсуществует такой элемент a−1 ∈ A (обратныйэлемент), что aa−1 = e.
Единица мультипликативной абелевой группы иногда обознача-
ется символом 1.
Простейшие следствия аксиом абелевой группы, полученные вы- ше на аддитивном языке, на мультипликативном языке выглядят следующим образом.
Единица единственна.
Обратный элемент единствен.
Для любых a, b уравнение xa = b имеет единственное реше- ние, равное ba−1. Оно называется частным от деления b на a (или отношениемэлементов bи a) и обозначаетсяb(или b/a).
a
