Пример 2. Множество векторов пространства с операциями сло- жения и векторного умножения является примером алгебраической структуры с двумя операциями. Кстати, отметим, что скалярное умножение векторов не является операцией в определенном выше смысле, так как его результат не есть элемент того же множества. Подобные более общие операции также рассматриваются в алгебре, но мы пока не будем об этом думать.
Все приведенные выше примеры являются естественными в том смысле, что они были открыты в результате изучения реального ми- ра и внутреннего развития математики. В принципе можно рассмат- ривать любые операции в любых множествах. Например, можно рассматривать операцию в множестве 6+, ставящую в соответствие любым двум числам число совпадающих цифр в их десятичной запи- си. Однако лишь немногие алгебраические структуры представляют
реальный интерес.
Следует уточнить, что алгебраиста интересуют только те свой- ства алгебраических структур и составляющих их элементов, кото- рые могут быть выражены в терминах заданных операций. Этот подход находит свое выражение в понятии изоморфизма.
Определение 1.Пусть M –– множество с операцией ◦, а N –– множество с операцией . Алгебраические структуры (M, ◦) и (N, )
называются изоморфными, если существует такое биективное отоб- ражение
что
f: M→ N,
f(a◦ b) = f(a) f(b)
для любых a, b∈ M. В этом случае пишут (M, ◦) ≃ (N, ). Само отоб- ражение f называется изоморфизмомструктур (M, ◦) и (N, ).
Аналогичным образом определяется изоморфизм алгебраиче- ских структур с двумя или бо´льшим числом операций.
