Пример5. Числовые множества Q = Q \ {0} и R = R \ {0} явля- ются абелевыми группами относительно обычной операции умно-
жения.
В дальнейшем мы познакомимся с общим понятием группы (не обязательно абелевой), которое не включает требования коммута- тивности операции.
Читатель, наверное, заметил, что некоторые из рассмотренных выше абелевых групп содержатся в других, причем операция в «ма- ленькой» группе определяется так же, как в «большой». Это приво- дит нас к понятию подгруппы.
Вообще, пусть M –– множество с операцией ◦ и N –– какое-либо его подмножество. Говорят, что N замкнуто относительно опера-ции◦, если
a, b∈ N⇒ a◦ b∈ N.
В этом случае операция ◦ определена в множестве N и превращает его в некоторую алгебраическую структуру. Если операция ◦ в Mобладает каким-то свойством, имеющим характер тождественного
соотношения (например, свойством коммутативности или ассоциа- тивности), то она, очевидно, обладает этим свойством и в N. Одна- ко другие свойства операции ◦ могут не наследоваться подмноже- ством N.
Так, подмножество аддитивной абелевой группы, замкнутое относительно сложения, не обязано быть абелевой группой, так как оно может не содержать нуля или элемента, противополож- ного какому-либо его элементу. Например, подмножество 6+ за-
мкнуто относительно сложения в абелевой группе 6, но не явля-
ется абелевой группой (и вообще группой), так как не содержит
противоположного элемента ни к одному своему элементу, кроме нуля.
Определение 2.Подмножество B аддитивной абелевой груп- пы Aназывается подгруппой, если
1) Bзамкнуто относительно сложения;
2) a∈ B⇒ −a∈ B;
3) 0 ∈ B.
