1. Введение
Если вообще можно четко
определить предмет алгебры, то это изучение алгебраических структур –– множеств с определенными в них операциями. Под операцией в множестве
M понимается лю- бое отображение
M
M →
M ,
т. е. правило, по которому из любых двух элементов множества
M получается некоторый элемент этого же множества.
Элементами множества M могут быть как числа, так и объекты другого рода.
Хорошо известными и важными примерами алгебраических структур являются следующие числовые множества с операциями сложения и умножения:
𝗁 –– множество натуральных чисел,
6 –– множество всех целых чисел,
6
+ = 𝗁 ∪ {0} –– множество
неотрицательных целых чисел,
Q –– множество рациональных чисел,
R –– множество всех вещественных (= действительных) чисел,
R
+ –– множество неотрицательных вещественных чисел.
Подчеркнем, что операции сложения и умножения определены
далеко не на всяком числовом множестве. Например, в множестве отрицательных чисел не
определена операция умножения, так как произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. В множестве иррациональных чисел не определены ни сло- жение, ни умножение, так как сумма и произведение двух иррацио- нальных чисел могут быть рациональными.
Приведем примеры алгебраических структур, состоящих не из чисел.
Пример 1. Пусть
M ,
N,
P ––
какие-то множества и
f :
N →
M ,
g :
P →
N
–– какие-то отображения.
Произведением, или
композицией,
отобра- жений f и
g называется отображение
fg :
P →
M ,
определяемое формулой
(
fg)(
a) =
f (
g(
a))
a ∈
P,
т. е. результат последовательного выполнения сначала отображе- ния
g, а
потом f . (Обычно, если это не может привести к недора- зумению, произведение отображений записывают без какого-либо специального знака, т. е. пишут просто
fg: ср.
обозначение ln sin x в анализе.) В частности, при
M =
N =
P мы получаем таким образом операцию на множестве всех отображений множества
M в себя. Эта операция дает много важных примеров алгебраических структур, называемых группами. Так,
например, согласно аксиоматике ев-
клидовой геометрии, произведение двух движений плоскости есть также движение. Рассматривая в множестве всех движений плоско- сти операцию умножения, мы получаем
алгебраическую структуру, называемую группой движений плоскости.
