Пример3.Отображение
a›→ 2a является изоморфизмом множества всех вещественных чисел с опе- рацией сложения и множества положительных чисел с операцией умножения, поскольку
2a+b=2a2b. Вместо основания 2 можно было бы взять любое положительное основание, отличное от 1. Это показывает, что между изоморфными алгебраическими структурами может существовать много различных изоморфизмов.
Пример 4. Пусть V –– множество векторов плоскости, а T –– мно- жество параллельных переносов. Для любого вектора a обозначим через taпараллельный перенос на вектор a. (Если a = 0, то ta –– это тождественное преобразование.) Легко видеть, что
ta◦ tb= ta+b,
◦
где обозначает умножение (композицию) параллельных перено- сов, а + обозначает сложение векторов (определяемое по правилу параллелограмма). Следовательно, отображение a ›→ taявляется изоморфизмом алгебраических структур (V , +) и (T, ◦).
Ясно, что если две алгебраические структуры изоморфны, то лю-
бое утверждение, формулируемое только в терминах заданных опе- раций, будет справедливым в одной из этих структур тогда и только тогда, когда оно справедливо в другой.
Например, операция ◦ в множестве Mназывается коммутатив-ной, если
a◦ b= b◦ a для любых a, b∈ M. Если структура (M, ◦) изоморфна структуре (N, ) и операция ◦ в множестве M коммутативна, то и операция
в множестве Nкоммутативна.
Таким образом, в принципе все равно, какую из изоморфных
друг другу алгебраических структур изучать: все они являются раз- личными моделями одного и того же объекта. Однако выбор мо- дели может оказаться небезразличным для фактического решения какой-либо задачи. Определенная модель может представить для этого наибольшее удобство. Например, если какая-то модель имеет геометрический характер, то она позволяет применить геометриче- ские методы.
