Топ: дпмно-15с математика негіздері пәнінен тапсырмалар жауаптары

Фигураның ауданы деп әрбір фигура үшін төмендегіше анықталатындай теріс емес шаманы айтады.

1.Тең фигуралардың аудандары тең болады;

2.Егер фигура саны шектеулі фигуралардан құрылатын болса ,онда оның ауданы олардың аудандарының қосындысына иең болады.

Жазықтықтан тұйық контурлы бар барлық F фигураның G жиынын қарастырайық. Мұнда фигураның ішкі және сыртқы нүктелерін ,сондай-ақ контурдың нүктелерін айыра алатынымыз түсінікті.

Осы жиында m(α) = m (β) екендігін білдіретін теңшамалылық қатынасын енгізуге болады. Бұл – екі α мен β фигураларының аудандары тең дегенді білдіреді. Бұл жағдайда, әрине а және β фигуралы конгруэнтті емес болуы да мүмкін.Егер α фигурасын, ол β фигурасына дәл келіп беттесетіндей етіп жылжытуға мүмкіндік болса ,онда фигуралар конгруэнтті деп аталады.Егер фигуралар конгруэнтті (яғни-?) болса,онда оларды тең және олардың аудандары тең деп есептеуге болады.

Сонымен а ~ β m(a) = m(β) α ~ β (әрқашан орындалады ), m(a) =m(β) α~β (әрқашан орындала бермейді).

Айталық, жазықтықта өте кішкене шаршылы тор сызылған делік. Және шаршының ұзындығы бірлік кесінді е, яғни ұзындық бірлігі ретінде таңдап алынған кесіндіге тең болсын дерлік. Онда шаршының ауданы е² –қа тең болады.

Жазықтықта тұйық контурмен берілген F фигурасының ауданын шаршылы тордың көмегімен өлшейді.

F фигурасының ауданын өлшеу берілген фигураның ауданын бірлік шаршымен салыстыру арқылы жүзеге асырылады.

F фигурасын толығымен қамтитын бүтін шаршылы торлардың және F фигурасымен қиылысатынт бүтін емес шаршыларды санайды. Одан кейін барлық бүтін шаршылар сананың қосындысы мен барлық бүтін емес шаршылардың жарым қосындысын қосып, нәтижені дөңгелектесе, онда F фигурасы ауданының сандық мәні деп атауға болатын қандай да бір бүтін q саны шығады, яғни S=(F)=p·e², me²(F) = p

Аудан бұлайша , әрине , жуық түрде табылады, алайда оны шаршылы торды одан әрі «ұсақтау» арқылы қажетті дәлдікке дейін алуға болады. Бұл былай жүзеге асырылады.

Шаршы қабырғасының бастапқы ұзындығын 10 есе кішірейтеміз де S(F) ауданды жаңа (кішірейтілген) торды пайдаланып табамыз. Сонда ауданның неғұрлым дәлірек жаңа мәні p₁ санын аламыз.

M_e ²(F)=p₁, S₁(F) = .

Осы процесті одан әрі жалғастыру барысында ауданның ақиқат мәніне біртіндеп жақындайтын S(F), S₁(F),…. мәндерін аламыз. Шын мәнінде ,ауданның дәл мәні шектеусіз ондық бөлшекпен өрнектеледі. Егер F фигурасы шаршылардан алынған сатылы фигуралармен толығымен жабылатын болса және егер ең болмағанда бір кішкене шаршы толығымен F фигурасының ішкі нүктелерінен құралатын болса, F фигурасын шаршыланатын (квадрируемая-квадратталатың ) фигура деп атайды. Егер осы шаршылар жүйесінде фигураның ішкі нүктелерін толығымен қамтитын ешқандай (тіптен өте кішкене болса да) шаршы болмаса, онда мұндай фигураның ауданы нөлге тең деп есептеледі.

Әрбір F фигурасымен екі сандық X және У жиындарын байланыстырайық. Х және F фигурасымен толық қамтылатын сатылы фигуралар аудандарынан, ал У жиыны F фигурасын толығымен қамтитын фигуралар аудандарынан тұратын болсын. Мұнда ішкі сатылы фигураның ауданы сыртқы фигураның ауданынан артық болмайтыны түсінікті. Сондықтан, егер хХ, уУ болса,онда х≤ у, яғни Х жиыны У жиынының сол жағында орналасқан. Олай болса, осы жиындарды бөліп тұратын ең болмағанда бір сан бар болады.

Демек F –ті шаршыланатын (квадрируемая) фигура деп атаймыз, егер оған сәйкес сандық Х және У жиындары бір ғана санмен бөлініп тұратын болса, осы S(F) санын F фигурасының ауданы деп атайды. Сонымен, фигураның ауданы фигурамен толық қамтылатын барлық сатылы фигуралардың аудандарынан кем емес, бірақ фигураны толығымен қамтитын барлық сатылы фигуралардың аудандарынан артық емес екен.

Жалпы алғанда, фигураның ауданын өрнектейтін сан бірлік кесіңдінің өзгеруіне байланысты өзгереді, яғни ұзындықтың өлшем бірлігі ретінде е кесіндісі таңдап алынса, онда аудан е²-пен өлшенеді және F фигурасының ауданы S_e(F)-ке тең болады, егер ұзындық берілген ретінде e₁=k·e кесіндісі таңдап алынса, онда аудан e²· R²–пен өлшенеді және F фигурасының ауданы

S_e1(F)=k² S_e(F) – ке тең болады.

Ауданның тұрмыста жиі қолданылып жүрген стандарт бірліктері : мм², см², дм², м², км², сондай-ақ а (ар), га (гектар).

Аудан бірліктері арасындағы қатынас мына кестемен сипатталады: