Республикасының
Якоби мен Зейделдің итерациялық әдістері
жүктеу/скачать 326,84 Kb.
|
is 4
- Бұл бет үшін навигация:
- Интерполяциялау және функциларды жуықтау
4.4 Якоби мен Зейделдің итерациялық әдістеріСызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістерін оқып үйренуге көшейік. Алдымен итерациялық әдістің екі мысалын қарастырайық. Оларды құру үшін алдын-ала (4.1) жүйесін мына күйге түрлендіреміз: ∑ ∑ ( ) (бұл ретте барлық нөлден үлкен деп саналады). Егер жинақтаудың жоғарғы шегі төменгі шекке қарағанда аз болса, әдеттегідей жинақтаудың мәнін нөлге тең деп аламыз. Сонымен, (4.15) теңдеуі i = 1 болғанда мына түрде болады:
Бұдан ары жоғарғы индекс итерация нөмірін көрсетеді, мысалы: ( ) ( ( ) ( ) ( )) мұндағы х векторының і-ші құраушыларының итерациясы. Якоби әдісінде жүйе жазбасынан (4.15) түрінде шығады, бұл арада итерациялар былай анықталады: ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) мұндағы бастапқы мәндері ойдан алынады. Итерациялардың аяқталуы итерацияға ең үлкен сан берілуімен немесе мына шартпен анықталады: | ( ) ( )| мұндағы — берілген сан. Зейделдің итерациялық әдісінің түрі мынадай болады: ∑ ∑ (4.17) Осыдан , i=1,2…,n мәндері қалай табылатындықтарын түсіну үшін (4.17) жүйесінің алғашқы екі теңдеулерін толығырақ жазамыз: ∑ ( ) ∑ ( ) векторының бірінші құраушысы (4.17) теңдеуден табылады, оны есептеу үшін векторы мен -дің мәнін білу керек. (4.19) теңдеуінен –ді табу кезінде қазір ғана табылған мән мен алдыңғы итерациядан белгілі , j = 3, ..., m мәндер пайдаланылады. Осылайша, векторының құраушылары (4.18) теңдеуінен i=1-ден бастап тізбектеліп табыла береді. Сызықты теңдеулер үшін итерациялық үдеріс үйлесімдік шартына мына шарттардың бірінің орындалуы жатады:
а) метрикалы кеңістікте; ∑| | ( ) яғни (4.1) жүйесінің оң жағындағы белгісіздер болғанда жолдармен алынған коэффициенттер модулінің жинақтауларының максимал мәні бірден аз болуы керек; б) метрикалы кеңістікте
яғни (4.1) жүйесінің оң жағындағы белгісіздер болғанда бағандармен алынған коэффициенттер модулінің жинақтауларының максимал мәні бірден аз болуы керек ;
√∑ ∑ ( ) яғни (4.1) жүйесінің оң жағындағы белгісіздер болғанда барлық коэффициенттер жинақтауларының мәні бірден аз болуы керек. Мысал 4.4. Жәй итерация әдісімен дәлдікпен жүйені шешу керек: Шешуі. Үйлесу шарты орындалу үшін (4.1) жүйесінен оның оң жағында белгісіздер болғанда коэффициенттері бірден әлдеқайда аз болатындай (4.16) жүйесін алу керек. (4.1) жүйесін парапар түрлендірулердің көмегімен бас диагоналда тұрған коэффициенттерінің абсолют шамасы сәйкес теңдеулерде белгісіздер болғанда басқа коэффициенттердің әрқайсысының абсолют шамасынан үлкен болатын жүйеге келтіру керек. Бұл үшін бірінші теңдеу ретінде - екінші, үшінші теңдеу ретінде – бірінші, ал екінші теңдеу ретінде – бірінші мен үшіншінің қосындысын аламыз: , Енді әр теңдеуді оның диагоналды коэффициентіне бөлеміз және әр теңдеуден диагоналды белгісізді жазамыз: Енді (4.18)-(4.20) үйлесімдік шарттарының біреуін тексеру керек. Бұл шарттардың бірде-біреуінің орындалмауы итерация әдісін қолдануға болмайды дегенді білдірмейді. евклидті метрикалы кеңістікте үйлесімдік шартын құрамыз: Аламыз: 1. Евклидті кеңістікте итерациялық үдеріс үйлеседі, сығылу коэффициенті Бастапқы жуықтау ретінде (0;0;0) нүктесін алуға болады. Мысал 4.5. Зейдел әдісімен дәлдікпен жүйені шешу керек: Шешуі. Зейдел әдісі жәй итерация әдісінен тез үйлесімділігімен ерекшеленеді. Берілген жүйені түрлендіру үдерісін жеңілдететін бір қалыпты түрге келтіреміз. Жүйені матрица түрінде жазамыз: ( ) ( ) ( ) Жүйенің екі жағын транспонирленген матрицаға көбейтіп, аламыз: Берілген бір қалыпты теңдеудің бірнеше жақсы қасиеттері бар: Белгісізді бір қалыпты жүйе коэффициенттері симметриялы болады (яғни ) Бір қалыпты жүйенің бас диагоналының барлық элементтері оң (яғни ) Бір қалыпты жүйеге парапар келтірілген жүйе мына түрде болады: Зейделдің итерациялық үдерісінің есептеу формулалары мына түрде болады: Бастапқы жуықтаудың орнына бос мүшелер бағанын алуға болады (2,7;2;4). Интерполяциялау және функциларды жуықтауКөптеген табиғи құбылыстардың заңдылықтарын орнату үшін тәжірибелер жүргізеді немесе зерттеу нысаны туралы статистикалық жинақтар жүргізілед. Егер тәжірибелер берілгендері аздаған қателікке ие болса, онда нәтижелерді өңдеу үшін полиномды және сплайнды Лагранж интерполяциясын пайдаланудың мағынасы жоқ. Мұндайда тәжірибелік нүктелер арқылы өтпейтін және зерттелетін тәуелділікті көрсететін, тәжірибе қателіктерінен болатын ауытқуларды реттейтін аппроксимация қисығын жүргізу керек. Бұл операцияны аппроксимация деп атайды, осы кездегі функцияны аппроксимациялайтын функция, ал оның сызбасын – аппроксимациялау сызығы деп атайды. Функциялық тәуелділік 5.1-кестеде берілсін: 5.1 кесте
(5.1) кестесінде берілген ( ) функциясы үшін, интерполяция шарттар құрамы орындалатындай ( ) көпмүшесін табу керек: ( ) { } ( ) көпмүшесін табу — оның канондық пішінін ескеріп, ( ) оның n+1 коэффициенттерін табу . Әдетте интерполяция есебі былай тұжырымдалады: n дәрежесінен жоғары емес, мәні ( ) нүктесінде берілген функцияның мәндерімен сәйкес келетін, яғни ( ) болатын ( ) ( ) көпмүшесін табу керек. Геометриялық тұрғыдан бұл мына түрдегі ( ) берілген жүйенің нүктелері ( ) арқылы өтетін (5.1-суретті қараңыз) алгебралық қисықты табу керек дегенді білдіреді. ( ) көпмүшесі интерполя- циялық көпмүше деп аталады. ( ) нүктелері интерполяция түйіндері деп аталады. 5.1 сурет – Алгебралық көпмүшені интерполяциялау Кез-келген үздіксіз f(x) функция үшін берілген есеп жалғыз шешімге ие болады. Шынында да, коэффициенттерін іздеу үшін егер ( ) нүктелерінің арасында сәйкес келетіндер болмаса анықтауышы нөлден үлкен (Вандермонд анықтауышы) болатын сызықты теңдеулер жүйесін аламыз: ( ) ( ) ( )
{ ( ) (5.2) жүйенің шешуін әртүрлі етіп жазуға болады. жүктеу/скачать 326,84 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|